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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 35

14.35. Dois automóveis, A e B, de massa mA e mB, respectivamente, se deslocavam em sentidos opostos quando colidem frontalmente. Considera-se que o choque é perfeitamente plástico, e também que a energia absorvida por cada automóvel é igual à sua perda de energia cinética em relação a um sistema de referência móvel ligado ao centro de massa do sistema de dois veículos. Representando por EA e EB, respectivamente, a energia absorvida pelo automóvel A e pelo automóvel B, (a) mostre que EA/EB mA/mB, ou seja, que a quantidade de energia absorvida por cada veículo é inversamente proporcional à sua massa e (b) calcule e EA e EB, sabendo que mA 1.600 kg e mB 900 kg e que as velocidades de A e B são, respectivamente, de 90 km/h e 60 km/h.

Passo 1

Bora matar mais essa questão! Aqui a gente vai precisar usar o centro de massa do sistema. Lembra como a gente calcula as grandezas do centro de massa em um sistema de partículas? Só precisamos fazer a media ponderada pelas massas de tudo, então a velocidade do centro de massa vai ser calculada assim:

v C M = m A v A + m B v B m A + m B  

Passo 2

O sistema de referência está ligado ao centro de massa, então a gente tem que considerar cada velocidade como a velocidade relativa ao centro de massa. Vamos usar a transformação de Galileu para definir as velocidades dos carros em relação ao centro de massa.

Para o carro A temos:

v A ' = v A - v C M

Então

v A ' = v A - m A v A + m B v B m A + m B

Vamos mexer um pouco mais na equação

v A ' = v A m A + m B - m A v A + m B v B m A + m B

v A ' = m B v A + v B m A + m B

E para o carro B, podemos fazer do mesmo jeito

v B ' = v B - v C M

v B ' = v B - m A v A + m B v B m A + m B

v B ' = m A v A + v B m A + m B

Passo 3

Agora a gente tem as massas e as velocidades, então a gente tem tudo para calcular as energias.

E A = 1 2 m A v A ' 2

Substituindo os valores

E A = 1 2 m A m B v A + v B m A + m B 2

Se a gente abrir esse quadrado ficamos com a expressão:

E A = m A m B 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2

Agora vamos fazer a energia do carro B

E B = 1 2 m B v B ' 2

E B = 1 2 m B m A v A + v B m A + m B 2

E B = m B m A 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2

Agora vamos fazer a razão entre essas energias

E A E B = m A m B 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2 m B m A 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2

Parece uma expressão grande, mas na verdade não é, se a gente olhar direitinho tem um que a gente pode cortar na fração, o termo é:

v A + v B 2 2 m A + m B 2

Esse termo aparece em cima e em baixo da fração. Então a equação fica o seguinte:

E A E B = m A m B 2 m B m A 2

Então

E A E B = m B m A

Exatamente como queríamos demonstrar.

Passo 4

Agora para o item (b) vamos calcular a energia de cada carro, sabendo as massas e as velocidades. Nós já temos uma expressão para calcular a energia, mas a gente tem um problema... Para a energia ficar na unidade de Joules, precisamos da velocidade em m s , mas o exercício nos dá a velocidade em k m h , mas a gente consegue fazer essa conversão, basta dividir a velocidade por 3,6 :

v A = 90 3,6 = 25 m s v B = 60 3,6 = 16 ,   667 m s

Agora mão na massa! Vamos calcular a energia do carro A:

E A = m A m B 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2

Substituindo os valores temos:

E A = 1600 900 2 25 + 16,667 2 2 1600 + 900 2 = 180 ⋅ 10 3   J

Passo 5

Mão na massa! Vamos calcular a energia do carro A:

E A = m A m B 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2

Substituindo os valores temos:

E A = 1600 900 2 25 + 16,667 2 2 1600 + 900 2 = 180 ⋅ 10 3   J = 180   k J

E agora a energia do carro B:

E B = m B m A 2 v A + v B 2 2 m A + m B 2

Substituindo os valores:

E B = 900 1600 2 25 + 16,667 2 2 1600 + 900 2 = 320 ⋅ 10 3 J = 320   k J

Resposta

b : A = 180   k J                 B = 320   k J

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