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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 45

14.45. Um veículo espacial de 360 kg deslocando-se com velocidade v0 (450 m/s)k passa pela origem O. Cargas explosivas dividem, então, o veículo em três partes, A, B e C, com massas de 60 kg, 120 kg e 180 kg, respectivamente. Sabendo que logo depois as posições das três partes são A (72, 72, 648), B (180, 396, 972) e C (-144, -288, 576), onde as coordenadas são expressas em metros, que a velocidade de B é vB (150 m/s)i +(330 m/s)j + (660 m/s)k e que o componente x da velocidade de C é -120 m/s, determine a velocidade da parte A.Passo 1

Então a gente tem uma situação mais ou menos assim:

Passo 1

Vamos matar mais essa?

Temos que ser organizados para responder essa questão. Vamos começar escrevendo os vetores posição das partes do veículo:

r A → = 72   i ^ + 72   j ^ + 648   k ^ r B → = 180   i ^ + 396   j ^ + 972   k ^ r C → = - 144   i ^ - 288   j ^ + 576   k ^

E as velocidades podemos escrever da seguinte forma:

v 0 → = 0   i ^ + 0 j ^ + 450   k ^ v A → = v A x   i ^ + v A y j ^ + v A z k ^ v B → = 150   i ^ + 330   j ^ + 660 k ^ v C → = - 120   i ^ + v C y   j ^ + v C z k ^

Passo 2

Agora que a gente tem tudo organizado, podemos começar a resolução. Um bom começo é usar conservação do momento linear. Vamos escrever a equação de conservação para cada componente. Começando pela componente i ^ :

m A + m B + m C v 0 x = m A v A x + m B v B x + m C v C x

Substituindo os valores

60 + 120 + 180 ⋅ 0 = 60 ⋅ v A x + 120 ⋅ 150 + 180 ⋅ - 120

Vamos isolar v A x

60 ⋅ v A x = 180 ⋅ 120 - 120 ⋅ 150

Isso fica

v A x = 180 ⋅ 120 - 120 ⋅ 330 60 = 60   m s

Para a componente j ^

m A + m B + m C v 0 y = m A v A y + m B v B y + m C v C y

Substituindo os valores

60 + 120 + 180 ⋅ 0 = 60 ⋅ v A y + 120 ⋅ 330 + 180 ⋅ v C y

Isso fica

v A y = - 120 ⋅ 330 - 180 ⋅ v C y 60 = - 660 - 3   v C y

E finalmente para a componente k ^

m A + m B + m C v 0 z = m A v A z + m B v B z + m C v C z

Substituindo os valores

60 + 120 + 180 ⋅ 450 = 60 ⋅ v A z + 120 ⋅ 660 + 180 ⋅ v C z

v A z = 60 + 120 + 180 ⋅ 450 - 120 ⋅ 660 - 180 ⋅ v C z 60 = 1380 - 3   v C z

Então

v A → = 60 i ^ + - 660 - 3   v C y   j ^ + 1380 - 3   v C x   k ^

Passo 3

Ainda temos incógnitas na nossa questão. Para resolve-las vamos usar conservação do momento angular.

∑ r → × m v i → = ∑ r × m v f →

Como o veículo está inicialmente na origem, o momento angular é nulo no começo do movimento. Então

∑ r × m v f = 0

Isso fica

r A → × m A v A → + r B → × m B v B → + r C → × m C v C → = 0

A gente pode dividir tudo por m A

r A → × v A → + r B → × m B m A v B → + r C → × m C m A v C → = 0

Então

r A → × v A → + r B → × 120 60 v B → + r C → × 180 60 v C → = 0

r A → × v A → + r B → × 2 v B → + r C → × 3 v C → = 0

Passo 4

Vamos substituir os valores que sabemos na nossa equação.

r A → × v A → + r B → × 2 v B → + r C → × 3 v C → = 0

72   i ^ + 72   j ^ + 648   k ^ × 60 i ^ + - 660 - 3   v C y   j ^ + 1380 - 3   v C x   k ^ + 180   i ^ + 396   j ^ + 972   k ^ × 2 150   i ^ + 330   j ^ + 660 k ^ + - 144   i ^ - 288   j ^ + 576   k ^ × 3 - 120   i ^ + v C y   j ^ + v C z k ^ = 0

A gente pode escrever isso em forma de matrizes para o cálculo ficar mais simples

i ^ j ^ k ^ 72 72 648 60 - 660 - 3   v C y 1380 - 3 v C x + i ^ j ^ k ^ 180 396 972 2 ⋅ 150 2 ⋅ 330 2 ⋅ 660 + i ^ j ^ k ^ - 144 - 288 576 3 ⋅ - 120 v C y v C z = 0

Passo 5

Fazendo essas continhas vamos chegar nos resultados:

i ^ :

216   v C y - 1080   v C z + 194400 + 213840 = 0

j ^

648   v C z - 216   - 120 - 194400 - 45360 = 0

Isso implica

v C z = 216   - 120 + 194400 + 45360 648 = 330

k ^

1080   - 120 - 648   v C y - 25920 = 0

Isso implica

v C y = 1080   - 120 - 25920 648 = - 240  

Passo 6

Agora a gente pode achar os valores de v A →

v A → = 60 i ^ + - 660 - 3   v C y   j ^ + 1380 - 3   v C x   k ^

v A → = 60 i ^ + - 660 - 3 ⋅ - 240   j ^ + 1380 - 3   330   k ^

Isso fica

v A → = 60 i ^ + 60   j ^ + 390   k ^

Terminamos mais uma!

Resposta

v A → = 60 i ^ + 60   j ^ + 390   k ^

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