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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas Revisão - Ex. 148

148. Duas forças são aplicadas a um tubo A B , como mostrado. Sabendo-se que o tubo tem diâmetros, interno e externo, iguais a 35   m m e 42   m m , respectivamente, determinar as tensões, normal e de cisalhamento, no: (a) ponto a ; (b) ponto ( b )

Passo 1

E aí meus queridos! Aqui vamos nós de novo, resolver nossa antepenúltima questão desse finalzinho de capítulo.

E a missão dessa vez, é achar as tensões normal e de cisalhamento nos pontos ( a ) e ( b )

Podemos fazer isso, simplesmente usando as fórmula abaixo...

σ = P A - M x z I + M z x I

τ = T c J + V Q I t

Eu disse simples, né!! Pois é! falei uma grande besteira.

Simples, vai ser substituir os valores numéricos de cada variável! Encontrar o quanto vale cada uma, vai dar um trabalhão!

Bom! Vamos ver por onde começar!

Nas duas fórmulas, temos alguns termos que dependem diretamente da seção transversal, como o momento polar ( J ) , a área da seção transversal ( A ) , os comprimentos ( z   e   y ) e o momento de inércia ( I ) .

Logo, é por aí que vamos dar nosso primeiro passo!

Passo 2

Bora começar, fazendo o esboço da seção transversal...

A região destacada em vermelho, é a região acima da linha neutra, que pega metade da figura, coisa que a gente já está acostumado a fazer.

Mas nesse caso, estamos analisando apenas o ponto a . E nesse caso a linha neutra vai ficar sobre o eixo x .

Se pegássemos o ponto b , a linha neutra ficaria sobre o eixo z e a região esboçada em vermelho não seria a mesma, mas teria a mesma área.

Aí você deve tá se perguntado. Porque não fazer outro desenho!?

Ora bolas! Isso é um círculo! As propriedades que nos estamos trablhando aqui; como área, momento de inércia e momento polar não mudam.

Entendeu agora?

Pois muito bem! A questão nos diz que o tubo tem diâmetros, interno e externo, iguais a 35   m m e 42   m m .

Desse modo, o raio externo ( c 0 ) vai valer...

c 0 = 42   m m 2 = 21   m m

Já o raio interno ( c i ) ...

c i = 35   m m 2 = 17,5   m m

E assim, podemos obter o valor de J , I e A através das seguintes fórmulas abaixo...

A = π ( c 0 2 - c i 2 )

J = 1 2 π ( c 0 4 - c i 4 )

I = 1 4 π ( c 0 4 - c i 4 )

Onde substituindos os valores de c 0 e c i ...

A = π ( 21 2 - 17,5 2 )

J = 1 2 π ( 21 4 - 17,5 4 )

I = 1 4 π ( 21 4 - 17,5 4 )

Obtemos os seguintes valores para nossas variáveis

A = 423,33   m m 2 = 4,233 ⋅ 10 - 4   m 2

J = 158166,5256   m m 4 = 1,58166 ⋅ 10 - 7   m 4

I = 79083,26278   m m 4 = 7,90833 ⋅ 10 - 8   m 4

Outra coisa que podemos calcular é o momento estático Q e a espessura... Essas duas propriedades também não variam, independentemente se pegarmos os pontos a ou b ...

No caso, como temos uma coroa de um semicírculo, para calcular o Q temos que usar a fórmula abaixo...

Q = 2 3 ( c 0 3 - c i 3 )

Substituindo os valores já conhecidos...

Q = 2 3 ( 21 3 - 17,5 3 )

Q = 2601,0833   m m 3 = 2,6011 ⋅ 10 - 6   m 3

No caso do t , basta subtrair o diâmetro externo do interno...

t = d 0 - d i

t = 42   m m - 35   m m = 7   m m

t = 0,007   m

Passo 3

A próxima coisa a se fazer agora, é tentar encontrar as seguintes variáveis que estão faltando...

T á   f a l t a n d o :   P , T , M x ,   M z   e   V

A força mais de boas de obter é a força P ! Ela é a força vertical agindo em nosso sistema, no caso a de 1500   N .

Só que como ela está apontando para baixo e o eixo y tem referencial positivo para cima, então...

P = - 1500   N

A primeira já foi!

Continuando nosso raciocínio, bora ver qual é mais em conta de se obter, das quatro que sobraram!

Sei não, hein!? Eu diria que é a força cortante, já que aquela força de 1200   N está sendo aplicada paralelamente à superfície da manivela, com direção no eixo z .

É isso mesmo!

Desse modo, fazendo o somatório das forças para o eixo z , obtemos que...

V z - 1200   N = 0

V z = 1200   N

Como não tem nenhuma força em x , então...

V x = 0   N

Agora, vamos pras tensões! O que queremos aqui é transferir as tensões e momentos gerados devido as forças pros nossos pontos a e b .

Bem! A primeiro tensão que podemos encontrar é a torção T , quando um momento é gerado em torno do eixo y .

A força responsável por esse momento é a de 1200   N , e ela está a uma distância de 90   m m , com tendência de giro no sentido anti-horário. Sendo assim...

T = 1200   N 0,090   m

T = 108   N ⋅ m

Depois, bora encontrar o momento em relação ao eixo x , M x . Olhando a figura do enunciado, podemos ver que a força que contribui para gerar momento nesse eixo, é a força de 1200   N , que está a uma distância de 75   m m dos nossos pontos a e b , com tendência de giro no sentido horário...

M x = - 1200   N 0,075   m

M x = - 90   N ⋅ m

No eixo z , a força responsável por gerar momento é a de 1500   N . E essa força está a uma distância de 45   m m do eixo com tendência de giro no sentido horário. Logo...

M z = - 1500   N 0,045   m

M z = - 67,5   N ⋅ m

Pronto! Conseguimos obter todas as variáveis!

Passo 4

a) Vamos então, substitui-lás para obter as tensões no ponto a ...

σ = P A - M x z I + M z x I

τ = T c J + V x Q I t

Um adendo aí! x e y na primeira fórmula são as coordenadas do ponto a no nosso sistema. Olhando a figura do enunciado, podemos ver que elas valem...

z = c 0 = 21   m m = 0,021   m

x = 0  

Logo, trocando cada variável por seu correspondente valor...

σ = - 1500 4,233 ⋅ 10 - 4   - - 90 0,021 7,90833 ⋅ 10 - 8     P a

τ = 108 ⋅ 0,021 1,58166 ⋅ 10 - 7     P a

Obtemos que...

σ ≅ 20,4   M P a

τ ≅ 14,34   M P a

Passo 5

b) Fazendo a mesma coisa para o ponto b , cujas coordenadas são...

x = c 0 = 21   m m = 0,021   m

z = 0  

E usando as fórmulas abaixo...

σ = P A - M x z I + M z x I

τ = T c J + V z Q I t

Substituindo os valores numéricos...

σ = - 1500 4,233 ⋅ 10 - 4   + ( - 67,5 ) ( 0,021 ) 7,90833 ⋅ 10 - 8     P a

τ = 108 ⋅ 0,021 1,58166 ⋅ 10 - 7   + ( 1200 ) ( 2,6011 ⋅ 10 - 6 ) ( 7,90833 ⋅ 10 - 8 ) ( 0,007 )   P a

Chegamos até às resposta abaixo...

σ ≅ - 21,5   M P a

τ ≅ 19,98   M P a

Resposta

a)

σ ≅ 20,4   M P a

τ ≅ 14,34   M P a

b)

σ ≅ - 21,5   M P a

τ ≅ 19,98   M P a

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