Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas Revisão - Ex. 148

148. Duas forças são aplicadas a um tubo , como mostrado. Sabendo-se que o tubo tem diâmetros, interno e externo, iguais a e , respectivamente, determinar as tensões, normal e de cisalhamento, no: (a) ponto ; (b) ponto

Passo 1

E aí meus queridos! Aqui vamos nós de novo, resolver nossa antepenúltima questão desse finalzinho de capítulo.

E a missão dessa vez, é achar as tensões normal e de cisalhamento nos pontos e

Podemos fazer isso, simplesmente usando as fórmula abaixo...

Eu disse simples, né!! Pois é! falei uma grande besteira.

Simples, vai ser substituir os valores numéricos de cada variável! Encontrar o quanto vale cada uma, vai dar um trabalhão!

Bom! Vamos ver por onde começar!

Nas duas fórmulas, temos alguns termos que dependem diretamente da seção transversal, como o momento polar , a área da seção transversal , os comprimentos e o momento de inércia .

Logo, é por aí que vamos dar nosso primeiro passo!

Passo 2

Bora começar, fazendo o esboço da seção transversal...

A região destacada em vermelho, é a região acima da linha neutra, que pega metade da figura, coisa que a gente já está acostumado a fazer.

Mas nesse caso, estamos analisando apenas o ponto . E nesse caso a linha neutra vai ficar sobre o eixo .

Se pegássemos o ponto , a linha neutra ficaria sobre o eixo e a região esboçada em vermelho não seria a mesma, mas teria a mesma área.

Aí você deve tá se perguntado. Porque não fazer outro desenho!?

Ora bolas! Isso é um círculo! As propriedades que nos estamos trablhando aqui; como área, momento de inércia e momento polar não mudam.

Entendeu agora?

Pois muito bem! A questão nos diz que o tubo tem diâmetros, interno e externo, iguais a e .

Desse modo, o raio externo vai valer...

Já o raio interno ...

E assim, podemos obter o valor de , e através das seguintes fórmulas abaixo...

Onde substituindos os valores de e ...

Obtemos os seguintes valores para nossas variáveis

Outra coisa que podemos calcular é o momento estático e a espessura... Essas duas propriedades também não variam, independentemente se pegarmos os pontos ou ...

No caso, como temos uma coroa de um semicírculo, para calcular o temos que usar a fórmula abaixo...

Substituindo os valores já conhecidos...

No caso do , basta subtrair o diâmetro externo do interno...

Passo 3

A próxima coisa a se fazer agora, é tentar encontrar as seguintes variáveis que estão faltando...

A força mais de boas de obter é a força ! Ela é a força vertical agindo em nosso sistema, no caso a de .

Só que como ela está apontando para baixo e o eixo tem referencial positivo para cima, então...

A primeira já foi!

Continuando nosso raciocínio, bora ver qual é mais em conta de se obter, das quatro que sobraram!

Sei não, hein!? Eu diria que é a força cortante, já que aquela força de está sendo aplicada paralelamente à superfície da manivela, com direção no eixo .

É isso mesmo!

Desse modo, fazendo o somatório das forças para o eixo , obtemos que...

Como não tem nenhuma força em , então...

Agora, vamos pras tensões! O que queremos aqui é transferir as tensões e momentos gerados devido as forças pros nossos pontos e .

Bem! A primeiro tensão que podemos encontrar é a torção , quando um momento é gerado em torno do eixo .

A força responsável por esse momento é a de , e ela está a uma distância de , com tendência de giro no sentido anti-horário. Sendo assim...

Depois, bora encontrar o momento em relação ao eixo , . Olhando a figura do enunciado, podemos ver que a força que contribui para gerar momento nesse eixo, é a força de , que está a uma distância de dos nossos pontos e , com tendência de giro no sentido horário...

No eixo , a força responsável por gerar momento é a de . E essa força está a uma distância de do eixo com tendência de giro no sentido horário. Logo...