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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 149

15.149. No Problema 15.148, mostre que a trajetória de P é uma linha reta vertical quando r= R /2. Deduza expressões para a velocidade e aceleração de P correspondentes em qualquer instante t.

Passo 1

Vamos começar o problema definindo dois ângulos, θ e ϕ .

θ indica o movimento do ponto P em torno do círculo menor e ϕ indica a o movimento do circulo menor em torno do círculo maior.

Passo 2

A gente pode assumir que

d θ d t = ω

E

θ = ω t

A roda gira sem deslizar, então podemos concluir que o arco OC é igual ao arco PC.

Temos

P C = r θ + ϕ

E

O C = R ϕ

Sendo r o raio da roda interna e R o raio da roda externa.

Então

r θ + ϕ = R ϕ

Mas o enunciado nos diz que

r = R 2

Ou

R = 2 r

Então

r θ + ϕ = 2 r ϕ

Isso fica

r θ + r ϕ = 2 r ϕ

θ = ϕ

Passo 3

Agora podemos assumir que

x = R - r sin ⁡ ϕ - r sin ⁡ θ

x = 2 r - r sin ⁡ θ - r sin ⁡ θ

Então

x = r sin ⁡ θ - r sin ⁡ θ = 0

E

y = R - R - r cos ⁡ ϕ - r cos ⁡ θ

y = R - 2 r - r cos ⁡ θ - r c o s   θ

Então

y = 2 r - 2 r c o s   θ  

y = 2 r 1 - cos ⁡ θ

Vamos derivar

x ˙ = 0

Então no eixo x a posição não varia, logo o movimento é uma linha vertical.

E

y ˙ = v y = 2 r θ ˙ sin ⁡ θ

Ou então

v y = R ω sin ⁡ ω t

Agora vamos fazer

a = v ˙

a x = 0

a y = d d t 2 r θ ˙ sin ⁡ θ

Essa derivada fica

a y = 2 r   θ ˙ 2 cos ⁡ θ - θ ¨ sin ⁡ θ

Isso fica

a y = R ω 2 cos ⁡ θ - α sin ⁡ θ

Mas no exercício anterior, o enunciado diz que ω é constante, logo a aceleração angular é nula, por tanto

a y = R ω 2 cos ⁡ θ

Resposta

v = 0   i ^ +   R ω sin ⁡ ω t   j ^

a = 0   i ^ + R ω 2 cos ⁡ θ   j ^

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