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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 20

17- Determine as coordenadas do centroide do segmento da área.

Passo 1

Temos que notar que a região está compreendida entre duas funções, de um círculo até uma reta se formos ver de cima para baixo.

A função circular tem um raio igual a a e tem a equação igual a:

y 2 + x 2 = a 2 → y = a 2 - x 2

E a reta tem os pontos ( 0 , a ) e ( a , 0 ) , logo sua equação será:

y = m x + b

Substituindo o primeiro ponto temos:

a = 0 x + b → a = b

Aplicando o resultado anterior e utilizando o segundo ponto nos dá:

0 = m a + a → m = - 1

Logo a reta será:

y = - x + a

Passo 2

Se formos fazer linhas verticais na região sugerida nós teremos comprimentos iguais a:

L = a 2 - x 2 - a + x

E como a largura dessa linha é de d x logo sua área será de:

d A = a 2 - x 2 - a + x d x

Se integrarmos de 0 até a, nós teremos a área dessa região:

A = ∫ 0 a a 2 - x 2 - a + x d x

Pela tabela presente no apêndice C na página 349 nós temos:

∫ a 2 - x 2 d x = 1 2 x   a 2 - x 2 + a 2 s e n - 1 x a

Logo a integral fica:

A = 1 2 x a 2 - x 2 + a 2 s e n - 1 x a - a x + x 2 2 0 a

Substituindo o intervalo temos:

A = 1 2 a × 0 + a 2 s e n - 1 1 - a 2 + a 2 2

A = 1 2 a 2 π 2 - a 2 + a 2 2 = a 2 π - 2 a 2 4 = a 2 ( π - 2 ) 4

Passo 3

O x médio dessa linha vertical, será o próprio x :

x m = x

Logo:

∫ x m   d A = ∫ 0 a x ( a 2 - x 2 - a + x d x = ∫ 0 a x a 2 - x 2 - a x + x 2 d x

Para a primeira parcela podemos substituir :

u = a 2 - x 2

d u = - 2 x   d x → - d u 2 = x   d x

Logo:

∫ - 1 2 u   d u = - 1 2 2 3 u 3 2 = - 1 3 u 3 2  

Voltando para o domínio de x temos:

∫ x a 2 - x 2 = - 1 3 a 2 - x 2 3 2

Logo:

∫ x m   d A = - 1 3 a 2 - x 2 3 2 - a x 2 2 + x 3 3 0 a

Aplicando o intervalo:

∫ x m   d A = 0 - a 3 2 + a 3 3 + 1 3 a 3 = 1 3 a 3 - a 3 6 = a 3 6

Se fizermos por linhas horizontais nós encontraremos o mesmo resultado para ∫ y m   d A . Isso é válido pois a função circular garante esse tipo de simetria.

Logo:

x - = y - = ∫ x m d A ∫ d A = a 3 6 a 2 ( π - 2 ) 4 = 2 a 3 ( π - 2 )

Resposta

x - = y - = 2 a 3 ( π - 2 )

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Determine a área e o centroide x - , y - da área.
Determine a massa e localize o centro de massa ( x - ,y - ) da barra uniforme. A massa por unidade de comprimento da barra é 3 kg/m.
Localize o centroide x - da barra circular. Expresse a resposta em termos do raio r e do ângulo de semiarco α .
Determine a área e o centroide x - , y - da área.
Determine a área o centroide ( x - ,y - ) da área.