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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 17

Determine a área o centroide ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) da área.

Passo 1

Vamos tomar nosso Elemento Diferencial como a área em cinza mostrada na figura:

Para isso, essa área é dada por:

d A = x d y

Colocando nossa curva em função de x ficamos com x = (a)/(h^(1 // 2)) y^(1 // 2) , e nosso d A fica:

d A = (a)/(h^(1 // 2)) y^(1 // 2) d y

O centroide do nosso elemento diferencial fica com:

overset(-)(x) = (x)/(2)

overset(-)(x) = (a)/(2 h^(1 // 2)) y^(1 // 2)

Enquanto que para o overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = y

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^h (a)/(h^((1)/(2))) y^((1)/(2)) d y = (2 a)/(3 h^(1 // 2)) ((y^(3 // 2))|_0^h

A = (2)/(3) a h

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide.

Para overset(-)(x) temos:

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^h ((a)/(h^(1 // 2)) y^(1 // 2)) ((a)/(h^(1 // 2)) y^(1 // 2) d y))/((2)/(3) a h) =

overset(-)(x) = (int_0^h (a^2)/(2 h) y ⅆ y)/((2)/(3) a h) = ((a^2)/(2 h) (((y^2)/(2))|_0^h)/((2)/(3) a h) = (3)/(8) a

E para overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = (int_A overset(-)(y) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_0^h (y) ((a)/(h^((1)/(2))) y^((1)/(2)) d y))/((2)/(3) a h)

overset(-)(y) = (int_0^h (a)/(h^(1 ∕ 2)) y^(3 // 2) ⅆ y)/((2)/(3) a h) = ((2 a)/(5 h^(1 ∕ 2)) (y^(5 ∕ 2)|_0^h)/((2)/(3) a h) = (3)/(5) h

Resposta

A = (2)/(3) a h

overset(-)(x) = (3)/(8) a

overset(-)(y) = (3)/(5) h

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