Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 23

21- Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada mostrada.

Passo 1

Traçando linhas verticais com o objetivo de preenchermos toda a região nos dará um comprimento igual a:

L = y e l i p s e - y r e t a

O que nos dá a obrigatoriedade de isolar o y da equação da elipse e descobrir a equação dessa reta:

Para a elipse:

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2

y 2 = b 2 1 - x 2 a 2

y = b 1 - x 2 a 2 = b a a 2 - x 2

Agora para a reta temos os pontos ( 0 , b ) e ( a , 0 ) logo a reta será:

y = - b a x + b = b - 1 a x + 1

Passo 2

Logo a área dessa região será para x variando de 0 até a:

d A = ∫ 0 a     b a a 2 - x 2 - b - 1 a x + 1 d x

No apêndice C página 349 temos que:

∫ a 2 - x 2 d x = 1 2 x   a 2 - x 2 + a 2 s e n - 1 x a

Logo nossa área fica:

A = - b 2 a x a 2 - x 2 + a 2 s e n - 1 x a 0 a + b 2 a x 2 - b x 0 a

Aplicando o intervalo:

A = - b 2 a 0 + a 2 s e n - 1 1 - 0 + a b 2 - a b = - b 2 a × a 2 π 2 - a b 2 = a b 2 π 2 - 1

Passo 3

Continuando na análise por linhas verticais temos que o x médio da nossa função será x m = x . Então calculando a coordenada horizontal do centroide nós iremos ter:

x - = ∫ x m d A A

Com ∫ x m   d A igual a:

∫ x m d A = ∫ 0 a b a x a 2 - x 2   d x - ∫ 0 a b - x 2 a + x d x

Na primeira integral basta substituirmos a 2 - x 2 = u para d u = - 2 x   d x → x d x = - d u 2

O que nos deixa com:

∫ - 1 2 u   d u = - 1 2 2 3   u 3 2 d u = - 1 3 u 2 3

Voltando ao domínio de x   vamos ter:

∫ x a 2 - x 2 d x = - 1 3 a 2 - x 2 3 2 + c

Logo nossa integral fica:

∫ x m d A = b a - 1 3 a 2 - x 2 3 2 0 a - b - x 3 3 a + x 2 2 0 a

Aplicando o intervalo vamos ter:

b a 1 3 a 3 - b - a 2 3 + a 2 2 = a 2 b 6

Logo x - será:

x - = ∫ x m d A A = a 2 b 6 a b 2 π 2 - 1 = a 3 π 2 - 1

Passo 4

Para calcular y - poderíamos fazer por linhas verticais com y m = 1 2 ×   b a a 2 - x 2 +   b - 1 a x + 1

E acharíamos a mesma resposta de ∫ y m d A da resposta de ∫ x m d A

Resposta

x - , y - = a 3 π 2 - 1 ,   a 3 π 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a localização x - do centroide C da parte superior da cardioide, r = a ( 1 - cos ⁡ θ ) .
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide y - da área.
A placa tem uma espessura de 12 mm e é composta de aço com um peso específico de 80 kN/m³. Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a força na corda em B .
Localize o centroide da área. Dica: Escolha elementos de espessura d y e comprimento [ 2 - y - y 2 ] .