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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 11

Determine a área e o centroide (overset(-)(x) , overset(-)(y)) da área.

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a área do nosso elemento diferencial mostrada em cinza na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Colocando nossa função em relação a x temos y = (4 a x)^(1 // 2) , nosso d A fica:

d A = 2 a^(1 // 2) x^(1 // 2) d x

Para o centroide do nosso elemento diferencial: overset(-)(x) será o próprio overset(-)(x) = x , enquanto que para o overset(-)(y) conforme na imagem teremos:

overset(-)(y) = (y)/(2)

overset(-)(y) = a^(1 // 2) x^(1 // 2)

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^b 2 a^((1)/(2)) x^((1)/(2)) d x =

A = (4)/(3) a^(1 // 2) (x^(3 // 2)|_0^b

A = (4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide.

Para overset(-)(x) temos:

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^b x (2 a^(1 ∕ 2) x^(1 ∕ 2) ⅆ x))/((4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)) = (int_0^b 2 a^(1 ∕ 2) x^(3 ∕ 2) ⅆ x)/((4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)) = ((4)/(5) a^(1 ∕ 2) (x^(5 ∕ 2)|_0^b)/((4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)) = (3)/(5) b

E para overset(-)(y) teremos:

overset(-)(y) = (int_A overset(-)(y) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_0^b (a^(1 // 2) x^(1 // 2)) (2 a^(1 // 2) x^(1 ∕ 2) ⅆ x))/((4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)) = (int_0^b 2 a x ⅆ x)/((4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)) = (a (x^2|_0^b)/((4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)) = (3)/(4) sqrt(a b)

Resposta

A = (4)/(3) a^(1 ∕ 2) b^(3 ∕ 2)

overset(-)(x) = (3)/(5) b

overset(-)(y) = (3)/(4) sqrt(a b)

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