Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 21
18- Determine a coordenada do centro de massa da barra de aço de seção variável e comprimento , sendo que o diâmetro da extremidade mais larga é duas vezes o diâmetro da extremidade menor.
Passo 1
Vamos considerar que esse sólido é composto por pequenas fatias de altura que vai da base com diâmetro até o de diâmetro .
Fazendo o volume desse disco nós teremos:
Precisaremos então de uma equação que correlacione com e para isso vamos fazer uso da seguinte ideia:
Se planificarmos o desenho, conseguiremos ver dois trapézios
Passo 2
O trapézio 1 delimitado pelo menor diâmetro até o diâmetro que pode ser qualquer diâmetro entre os dois diâmetros que limitam nossa região e o trapézio 2 que é complementar . Dessa figura podemos afirmar que:
Onde a área do trapézio 1 somado com a do trapézio 2 é igual a do trapézio todo.
Logo:
Cortando o denominador e fazendo as operações dos denominadores:
Isolando :
Logo nosso elemento de volume vai ficar:
Como varia de até :
Aplicando o intervalo:
Nosso volume então será :
Passo 3
Agora para calcular a coordenada horizontal do centro de volume nós temos que fazer:
Como nosso disco é perpendicular ao eixo pretendido, podemos tratar.
Logo:
então valerá: