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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 28

Localize o centroide overset(-)(x) da área.

Passo 1

Vamos tomar nosso elemento diferencial como a área em cinza mostrada na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Tendo nossa função y = (h)/(a^n) x^n , nosso d A fica:

d A = (h)/(a^n) x^n d x

Para o centroide do nosso elemento diferencial, em overset(-)(x) temos o próprio overset(-)(x) = x .

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^a ((h)/(a^n) x^n) ⅆ x = [(h x^(n + 1))/(a^n ( n + 1 ))]_0^a = (h a^(n + 1))/(a^n ( n + 1 ))

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide overset(-)(x) :

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

Onde:

int_A overset(-)(x) ⅆ A = int_0^a x ((h)/(a^n) x^n) ⅆ x = [(h x^(n + 2))/(a^n ( n + 2 ))]_0^a = (h a^(n + 2))/(a^n ( n + 2 ))

E nosso overset(-)(x) fica:

overset(-)(x) = ((h a^(n + 2))/(a^n (n + 2)))/((h a^(n + 1))/(a^n ( n + 1 ))) :. overset(-)(x) = (n + 1)/(n + 2) a

Resposta

overset(-)(x) = (n + 1)/(n + 2) a

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