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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas de Revisão - Ex. 157

Um disco de 2 kg e 150 mm de diâmetro está preso na extremidadede uma barra AB de massa desprezível que é suspensa por junta articulada em A. Se no disco for observada a precessão em torno da vertical no sentido indicado a uma taxa constante de 36 rpm, determine a taxa de rotação própria do disco em torno de AB.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O exercício pede que a gente determine a taxa de rotação própria do disco em torno de AB.

Deixe o eixo z ser vertical.

Para os eixos principais xyz com origem em A, os principais momentos de inércia são:

I ´ = I x = I y = m 1 4   a 2 + l 2

I = I z = 1 2   m   a ²

Passo 2

Componentes de velocidade angular:

ω x = - φ ˙ sin ⁡ θ

ω y = 0

ω z = ψ ˙ + φ ˙ cos ⁡ θ

Momento angular sobre A.

H A = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k

= - I ´ φ   ˙ sin ⁡ θ i + I ω z k

Deixe o Axyz correspondente girar com velocidade angular,

Ω = φ ˙ k = φ ˙ ( - sin ⁡ θ i + cos ⁡ θ k )

Passo 3

Rotina de mudança de momento angular:

H A ˙ = H ˙ A x y z + Ω × H A

= 0 + Ω × H A

= φ ( - sin ⁡ θ ˙ i + cos ⁡ θ k ) × ( - I ´ φ ˙ sin ⁡ θ i + I ω z k )

= - I ´ φ 2 ˙ sin ⁡ θ cos ⁡ θ + I φ ˙ sin ⁡ θ ω z sin ⁡ θ j

∑ M A = H ˙ A : l sin ⁡ θ m g j = H ˙ A

Dadas: m = 2   k g

a = 75 m m = 0.075   m

l = 600   m m = 0.6   m

θ = 30 °

I ´ = 2 1 4   0.075 2 + 0.6 2 = 0.7228125   K g ∙ m 2

I = 1 2 2 0.075 2 = 0.005625   K g ∙ m ²

φ ˙ = - 36   r p m = - 3.7699   r a d / s

Passo 4

Usar equação anterior:

0.6 sin ⁡ 30 ° 2 9.81 j

= [ 0.7228125 3.7699 2 sin ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° + 0.005625 - 3.7699 ω z sin ⁡ 30 ° ]

5.886   j = 4.44822 + 0.0106028   ω z j

ω z = 135.60   r a d / s

ψ ˙ = ω z + φ ˙ cos ⁡ θ = 135.60 + 3.7699 cos ⁡ 30 °

ψ ˙ = 138.89   r a d / s

Resposta

ψ ˙ = 1326   r p m

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