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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 49

18.49. Determine a energia cinética do paralelepípedo sólido do Problema 18.7

Passo 1

Vamos começar esse problema lembrando do 18.7. Naquele problema a gente tinha um paralelepípedo retangular sólido com massa m girando a uma velocidade ω em torno da sua diagonal girando no sentido anti-horário.

A gente pode calcular a diagonal principal assim

D = a 2 + 2 a 2 + a 2 = 6   a

E a área total do paralelepípedo é o seguinte

A = 2 a 2 + 4 2 a ⋅ a = 10 a 2

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada em ω . A gente pode decompor o vetor ω → .

ω → = ω   - a D   i ^ + ω   2 a D   j ^ + ω   - a D   k ^

Então

ω → = - ω 6   i ^ + 2 ω 6   j ^ - ω 6 k ^

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos de inércia

I x = 1 12 m ⋅ 2 a 2 + 1 12 m ⋅ a 2 = 5 12 m a 2

E

I y = 1 12 m a 2 + 1 12 m a 2 = 1 6 m a 2

E para o eixo z podemos usar um pouco de simetria.

I z = I x = 5 12 m a 2

Passo 4

Agora só precisamos calcular a cinética.

T = 1 2 m v - 2 + 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I z ω z 2

O eixo de rotação passa pelo centro de gravidade, então

v - = 0

Agora vamos substituir os valores

T = 0 + 1 2 5 12 m a 2 ω 6 2 + 1 2 1 6 m a 2 2 ω 6 2 + 1 2 5 12 m a 2 ω 6 2

Resolvendo isso aqui fica

T = 1 8 m a 2 ω 2

Resposta

T = 1 8 m a 2 ω 2

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