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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 56

18.56. Determine a taxa de variação G da quantidade de movimento angular HG do disco do Problema 18.2.

Passo 1

Vamos começar relembrando o problema 18.2. No problema temos um disco fino de massa m e raio r com uma velocidade angular ω 1 . Esse disco está apoiado em uma união U presa numa barra vertical que gira com uma velocidade angular ω 2 .

A velocidade angular do sistema vai ser

ω = ω 2   j ^ + ω 1   k ^

Passo 2

Vamos calcular os momentos de inercia.

I x = 1 4 m r 2 + 1 12 m L 2

Sendo L a espessura do disco, mas para esse problema podemos desprezar essa espessura, então

I x = 1 4 m r 2

Analogamente

I y = 1 4 m r 2

E por último

I z = 1 2 m r 2

Passo 3

Agora a gente tem tudo para calcular o momento angular:

H G = I x ω x   i ^ + I y ω y   j ^ + I z ω z   k ^

Substituindo os valores

H G = 1 4 m r 2 ( 0 )   i ^ + 1 4 m r 2 ω 2   j ^ + 1 2 m r 2 ω 1   k ^

Então

H G = 1 4 m r 2 ω 2   j ^ + 1 2 m r 2 ω 1   k ^

As coisas vão facilitar agora por que ω está girando em torno do ponto G, então podemos assumir

ω = Ω

Agora vamos calcular a taxa de variação

H ˙ G = Ω × H G

Isso fica

H ˙ G = ω 2   j ^ + ω 1   k ^ × 1 4 m r 2 ω 2   j ^ + 1 2 m r 2 ω 1   k ^

Fazendo esse produto vetorial, vamos ficar com

H ˙ G = 1 2 m r 2 ω 1 ω 2   i ^

Resposta

H ˙ G = 1 2 m r 2 ω 1 ω 2   i ^

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