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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 63

18.63. Determine a taxa de variação A da quantidade de movimento angular HA do conjunto da placa do Problema 18.3, admitindo que, no instante considerado, o conjunto tenha uma velocidade angular j e uma aceleração angular j.

Passo 1

Vamos começar relembrando o problema 18.3. No problema temos uma placa homogênea que forma um ângulo de 45° com uma barra vertical A B - . O eixo A B - gira com uma velocidade ω → = ω   j ^ .

Agora podemos começar a resolver o problema. O primeiro passo que vamos dar é usar os eixos y ' e z ' , em que z ' é o eixo normal a placa e y ' é o eixo que está no plano da placa e é ortogonal ao eixo x .

Nesse desenho as linhas pretas representam a placa.

Podemos colocar ω → nas novas coordenadas.

ω x = 0 ω y ' = ω cos ⁡ 45 ° ω z ' = ω sin ⁡ 45 °

Passo 2

Vamos calcular os momentos de inercia.

I x = 1 3 m a 2

Onde a a é o tamanho de um lado da placa.

I y ' = 1 12 m a 2

E por último

I z ' = I x + I y ' = 1 3 m a 2 + 1 12 m a 2 = 5 12 m a 2

Passo 3

Agora a gente tem tudo para calcular o momento angular:

H → A = I x ω x   i ^ + I y ' ω y '   j ^ ' + I z ' ω z '   k ^ '

Substituindo os valores

H → A = 1 3 m a 2 ( 0 )   i ^ + 1 12 m a 2 ω cos ⁡ 45 °   j ^ ' + 5 12 m a 2 ω sin ⁡ 45 °   k ^ '

Então

H → A = 1 12 m a 2 ω cos ⁡ 45 °   j ^ ' + 5 12 m a 2 ω sin ⁡ 45 °   k ^ '

H A → = 1 12 m a 2 ω cos ⁡ 45 °   j ^ ' + 5 sin ⁡ 45 °   k ^ '

A gente pode voltar para os eixos cartesianos. Se você olhar bem para a figura que desenhamos lá no começo você consegue ver que

j ^ ' = cos ⁡ 45 °   j ^ - sin ⁡ 45 °   k ^

k ^ ' = sin ⁡ 45 °   j ^ + cos ⁡ 45 °   k ^

Vamos fazer a imagem no plano y z para ficar mais fácil de enxergar isso.

Então vamos fazer

H A → = 1 12 m a 2 ω ⋅ cos ⁡ 45 °   cos ⁡ 45 °   j ^ - sin ⁡ 45 °   k ^ + 5 sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 45 °   j ^ + cos ⁡ 45 °   k ^

Lembre-se que cos 2 ⁡ 45 ° = sin 2 ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 45 ° = 1 2 , isso vai ajudar aqui

H A → = 1 12 m a 2 ω ⋅ 1 2   j ^ - 1 2   k ^ + 5 ⋅ 1 2   j ^ + 5 ⋅ 1 2 k ^

Isso fica

H A → = 1 12 m a 2 ω ⋅ 3   j ^ + 2   k ^

Passo 4

Agora vamos calcular H → ˙ A x y z

H → ˙ A x y z   = I x ' α x '   i ^ ' + I y ' α y '   j ^ ' + I z ' α z '   k ^ '

Para calcular α x ' , α y ' e α z ' vamos usar um raciocínio parecido com o aquele que fizemos para calcular ω x ' , ω y ' e ω z ' . O valor de α → está no enunciado, α → = α   j ^

α x ' = 0

α y ' = α cos ⁡ 45 °

α z ' = α sin ⁡ 45 °

Então ficamos com

H → ˙ A x y z   = 0   i ^ ' + 1 12 m a 2 α cos ⁡ 45 °   j ^ ' + 5 12 m a 2 α sin ⁡ 45 °   k ^ '

Isso fica

H → ˙ A x y z   = 1 12 m a 2 α cos ⁡ 45 °   j ^ ' + 5 sin ⁡ 45 °   k ^ '

Agora vamos passar isso para os eixos cartesianos

H → ˙ A x y z   = 1 12 m a 2 α cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 °   j ^ - sin ⁡ 45 °   k ^   + 5 sin ⁡ 45 °   sin ⁡ 45 °   j ^ + cos ⁡ 45 °   k ^

Isso fica

H → ˙ A x y z   = 1 12 m a 2 α 1 2 j ^ - 1 2 k ^ + 5 2 j ^ + 5 2 k ^

H → ˙ A x y z   = 1 12 m a 2 α 3 j ^ + 2 k ^

Passo 5

Nós podemos assumir que

Ω → = ω → = ω   j ^

E finalmente podemos calcular a variação de H → A

H → ˙ = H → ˙ A x y z   + Ω → × H → A

Agora basta substituir os valores

H → ˙ = 1 12 m a 2 α 3 j ^ + 2 k ^ + ω   j ^ × 1 12 m a 2 ω ⋅ 3   j ^ + 2   k ^

Isso fica

H → ˙ = 1 12 m a 2 α 3 j ^ + 2 k ^ + 1 6 m a 2 ω 2   i ^

Chegamos numa resposta

H → ˙ = 1 12 m a 2 ω 2   i ^ + 3 α   j ^ + 2 α k ^

Resposta

H → ˙ = 1 12 m a 2 ω 2   i ^ + 3 α   j ^ + 2 α k ^

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