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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 38

As extremidades de uma haste de 9 lb AB são restritas a se mover ao longo de fendas cortadas em um plano vertical, como mostrado. Uma mola de constante k = 3  lb/in.  é anexado à extremidade A de tal forma que sua tensão é zero quando θ = 0 . se a haste for liberada do repouso quando θ = 0 , determine a velocidade angular da haste e a velocidade da extremidade B quando θ = 30 °.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine a velocidade angular da haste e a velocidade da extremidade B quando θ = 30 °.

Momento de Inércia: haste I - = 1 12 m L 2

Posição 1: θ 1 = 0             v → 1 = 0                 ω 1 = 0

h 1 =   e l e v a ç ã o   a c i m a   d a   f e n d a                                         h 1 = 0 e 1 =   e l o n g a ç ã o   d a   m o l a         e 1 = 0

T 1 = 1 2 m v - 1 2 + 1 2 I - ω 1 2 = 0 V 1 = 1 2 k c 1 2 + W h 1 = 0

Passo 2

Posição 2: θ = 30 ∘

e 2 + L c o s ⁡ 30 ∘ = L

e 2 = L 1 - c o s ⁡ 30 ∘ h 2 = - L 2 s i n ⁡ 30 ∘ = - 1 4 L V 2 = 1 2 k e 2 2 + W h 2 = 1 2 k L 2 1 - c o s ⁡ 30 ∘ 2 - 1 4 W L

Passo 3

Cinemática: velocidades em A e B são direcionadas para baixo. Ponto C é o centro instantâneo de rotação. Da geometria, b = L 2

v - = b ω = L 2 ω

v B = L c o s ⁡ 30 ∘ ω

T 2 = 1 2 m v - 2 + 1 2 I - ω 2 = 1 2 m L 2 ω 2 + 1 2 1 12 m L 2 = 1 6 W g L 2 ω 2

Passo 4

Conservação de energia: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 : 0 + 0 = 1 W 6 L 2 ω 2 + 1 2 k L 2 1 - c o s ⁡ 30 ∘ 2 - 1 4 W L

ω 2 = 3 g L - 3 k g W 1 - c o s ⁡ 30 ∘ 2

Dados: W = 9 l b

g = 32.2 f t / s 2 L = 25 i n = 2.0833 f t k = 3 l b / i n = 36 f b / t t

ω 2 = ( 3 ) ( 32.2 ) 2.0833 - ( 3 ) ( 36 ) ( 32.2 ) 1 - c o s ⁡ 30 ∘ 2 9 = 16.2484

ω = 4.03 r a d / s )

v B = ( 2.0833 ) cos ⁡ 30 ∘ ( 4.03 )

v B = 7.27 f t / s ↓

Resposta

ω = 4.03 r a d / s )

v B = 7.27 f t / s ↓

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