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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 120

19.119. Um motor de 180 kg é suportado por molas de constante total 150 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 28 g localizado a 150 mm do eixo de rotação. Determine o intervalo de velocidades do motor para o qual a amplitude da força oscilante exercida na fundação é menor que 20 N.

Passo 1

Antes de começar a fazer conta é melhor organizamos as informações que temos.

M = 180   k g m = 28   g = 28 ⋅ 10 - 3   k g r = 150   m m = 0,15   m k = 150 k N m = 150 ⋅ 10 3 N m

Podemos derivar mais um resultado, a frequência natural:

ω n = k M = 150 ⋅ 10 3 180 = 28,868 r a d s

Passo 2

Nesse problema podemos usar a equação que derivamos lá no problema 19.113

x m = r m M ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

Essa equação é interessante para nós porque se multiplicarmos tudo pela constante da mola vamos ficar com

F m = k r m M ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

Agora temos uma constante na equação: k r m M , vamos calcular o valor dela

k r m M = 150 ⋅ 10 3 0,15 28 ⋅ 10 3 180 = 3,5   N

Agora podemos seguir o problema com a equação

F m = 3,5 ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

Passo 3

Beleza, quando o motor está em fase temos:

F m < 20   N

Então

3,5 ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2 < 20

Isso fica

3,5 ω f ω n 2 < 20 - 20 ω f ω n 2

3,5 ω f ω n 2 + 20 ω f ω n 2 < 20

Logo

2 3,5 ω f ω n 2 < 20

E vamos chegar em

ω f ω n < 20 23,5

Logo

ω f < 20 23,5 ⋅ ω n

Mas a gente já sabe o valor de ω n , então vamos substituir na equação

ω f < 20 23,5 ⋅ 2 8,868

∴ ω f < 26,63 r a d s

Ou então

ω f < 254   r p m

Passo 4

Mas quando o motor está fora de fase temos

- F m < 20   N

Logo

- 3,5 ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2 < 20

Ou

3,5 ω f ω n 2 ω f ω n 2 - 1 < 20

Analogamente ao caso em que o motor está em fase

3,5 ω f ω n 2 - 20 ω f ω n 2 < 20

E isso fica

16,5 ω f ω n 2 > 20

Então

ω f ω n > 20 16 , 5

Logo

ω f > 20 16 , 5 ⋅ ω n

Substituindo ω n

ω f > 20 16 , 5 ⋅ 28,868

∴ ω f < 31,78 r a d s

Ou então

ω f > 304   r p m

Resposta

  ω f < 254   r p m

ω f > 304   r p m

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