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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 45

2.45. Se a força resultante que atua sobre o suporte precisa ser direcionada ao longo do eixo x positivo e a intensidade de F 1 precisa ser mínima, determine as intensidades da força resultante e de F 1 .

Passo 1

O exercício pede para que a gente calcule a intensidade de F 1 e F R . Para isso precisaremos decompor as forças nos eixos x e y e trabalhar com os vetores decompostos. Vamos começar a fazer isso pelo eixo x.

Passo 2

Vamos determinar a intensidade das forças no eixo x

F 1 x = F 1 ⋅ cos ⁡ Φ

Agora para determinar F 2 x vamos usar esse triângulo

Repare que a imagem não nos dá um ângulo, mas nos dá esse triângulo. Vamos lembrar que sin ⁡ α = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = 4 5

Se pensarmos o ângulo α da seguinte forma

F 2 x = 1,5 ⋅ sin ⁡ α = 1,5 ⋅ 4 5 = 1,2   k N

Vamos fazer algo parecido para determinar F 3 x

F 3 x = - F 3 ⋅ sin ⁡ γ = - 1,3 ⋅ 5 13 = - 0,5

Repare que F 3 x está no sentido oposto de x

Agora podemos saber a resultante no eixo x

F R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x = F 1 ⋅ cos ⁡ Φ + 1,2 - 0,5 = ( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ + 0,7 )     k N

Mas o enunciado nos diz que a força resultante está toda no eixo x, então

( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ + 0,7 ) = F R

Passo 3

Agora a gente calcula as forças no eixo y

F 1 y = F 1 ⋅ sin ⁡ Φ

Para calcular F 2 y   e   F 3 y vamos usar uma estratégia parecida com a que usamos para calcular F 2 x   e   F 3 x , mas agora ao invés de senos usaremos cossenos.

F 2 y = - 1,5 ⋅ cos ⁡ α = - 1,5 ⋅ 3 5 = - 0,9   k N

F 3 y = - F 3 ⋅ cos ⁡ γ = - 1,3 ⋅ 12 13 = - 1,2   k N

F R y = F 1 y + F 2 y + F 3 y = F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 0,9 - 1,2 = ( F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 2,1 )   k N

Mas o enunciado nos diz que a força resultante está toda no eixo x, então

( F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 2,1 )   k N = 0

F 1 ⋅ sin ⁡ Φ = 2,1

F 1 = 2,1 sin ⁡ ϕ

Passo 4

Agora a partir da equação F 1 = 2,1 sin ⁡ ϕ

Podemos dizer que F 1 é o mínimo quando sin ⁡ ϕ é máximo, ou seja, sin ⁡ ϕ = 1 , então ϕ = 90 °

Logo

F 1 = 2,1   k N

Passo 5

Agora podemos usar F 1 para descobrir F R

( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ + 0,7 ) = F R

2,1 ⋅ cos ⁡ 90 ° + 0,7 = F R

Logo

F R = 0,7   k N

Resposta

F 1 = 2,1   k N F R = 0,7   k N

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