Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 60
Repita o Prob. 2/59, salvo que o carro , em vez de possuir uma aceleração constante, agora acelera conforme mostrado no gráfico a seguir. O instante de tempo é o momento em que a velocidade permanece constante. Compare o seu resultado com o indicado para o Prob. 2/59.
Prob. 2/59: Um carro viaja a uma velocidade constante de . Quando na posição mostrada no instante de tempo , o carro tem uma velocidade de e acelera a uma taxa constante de ao longo de sua trajetória até que atinja uma velocidade de , depois do que viaja em uma velocidade constante. Qual é a posição em regime permanente do carro com relação ao carro ?
Passo 1
Para determinar a posição relativa, precisamos primeiro determinar a posição de cada carro em função do tempo, beleza?
Observe que o carro faz um trajeto de um quarto de círculo de raio até chegar na horizontal, ou seja, até chegar no vértice superior direito do quadrado desenhado. Perceba que o carro chega até esse mesmo ponto por meio de um lado desse quadrado, cuja medida é também igual ao raio .
Isso significa que, se considerarmos esse vértice como a origem do nosso sistema de coordenadas, a posição inicial do carro será:
Como o carro tem uma velocidade constante , temos:
Passo 2
Para o carro , teremos dois momentos. Até o instante , que iremos calcular mais tarde, o carro desenvolve uma aceleração constante , partindo de até alcançar .
Podemos calcular essa velocidade graficamente, lembrando que a área abaixo do gráfico de nos dá a variação de velocidade. Então, considerando a área do triângulo e lembrando que a velocidade ao final de deve ser :
Passo 3
Show! Agora que a gente sabe a velocidade do carro no instante , podemos calcular que instante é esse:
E então o instante será dado por:
Assim, já podemos calculamos a posição do carro ao final de todo o processo, no instante , com a equação que já obtivemos no :
Passo 4
Para o carro , lembre-se que antes de ele chegar à origem do sistema, ele passa por um trajeto em forma de um quarto de círculo de raio , e portanto, sua posição inicial será:
Então, vamos calcular a posição de quando , já que temos aceleração constante:
Passo 5
Para calcular a posição do carro em , vamos considerar a aceleração média entre os instantes e :
Dica: podemos fazer essa média aritmética simples com os valores inicial e final de uma dada quantidade quando a variação dela é linear, como nesse caso.
Assim, podemos tratar o movimento do carro nesse intervalo de tempo entre e como se ele tivesse aceleração constante e escrever a seguinte equação:
Mas, como estamos considerando que o movimento se inicia no instante , teremos , , e o tempo equivalente ao instante será :
Passo 6
Finalmente, como os carros passam a viajar com a mesma velocidade depois do instante , eles permanecem indefinidamente com a mesma distância relativa do instante . Ou seja, para o nosso objetivo, basta calcular a distância relativa entre os carros no instante :
Ou seja, em regime permanente, o carro fica sempre à frente do carro . Comparando com o resultado do Prob. 59/2, em que fica à frente de por , a diferença foi bem pequena.
Resposta
à frente de por