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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 11

3.11. Sabe-se que é necessária uma força com um momento de 960   N ⋅ m em relação a D para endireitar o mourão CD. Se a capacidade do guincho AB 2400   N , determine o valor mínimo da distância d para se criar o momento especificado em relação ao ponto D.

Passo 1

Bem, quase todo exercício de mecânica fica mais simples resolver se fizermos um desenho da situação destacando o que a gente precisa.

Esse T é a tração que o guincho exerce no ponto C, já está decomposto nos eixos, mas temos que achar seus valores, para isso vamos usar o grande triângulo que a imagem forma

Vamos achar o valor da hipotenusa por Pitágoras:

h = ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2

Agora a gente pode obter os valores de T x e T y

T x = T sin ⁡ θ = - T c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

T x = 2400 ⋅ d + 0,2 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2

E agora T y

T y = T cos ⁡ θ = - T c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

T y = 2400 ⋅ 0 , 875 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2

Passo 2

O momento de uma força é definido por

M = F ⋅ d

Onde

M = Momento

F =   Força

d = distância

Como temos a força decomposta, vamos usar

M D = M x + M y

Vamos começar por M x

M x = T x ⋅ d y

M x = 2400 ⋅ d + 0,2 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2 ⋅ 0 = 0

Agora M y

M y = T y ⋅ d x

M y = 2400 ⋅ 0,875 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2 ⋅ d

Então

M D = 2400 ⋅ 0,875 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2 ⋅ d

Passo 3

O enunciado nos diz que o momento tem que ser de 960   N ⋅ m , então

960 = 2400 ⋅ 0,875 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2 ⋅ d

Então temos que isolar d

960 = 2400 ⋅ 0,875 ( d + 0,2 ) 2 + 0,875 2 ⋅ d

960 ⋅ d + 0,2 2 + 0,875 2 = 2100   d

Vamos elevar os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz

960 2   d + 0,2 2 + 0,875 2 = 2100 2 d 2

d + 0,2 2 + 0,875 2 = 2100 2 960 2   d 2

d 2 + 0,4   d + 0,04 + 0,765 = 4,78   d 2

4,78   d 2 - d 2 - 0,4   d - 0,805 = 0

Então

3,78   d 2 - 0,4   d - 0,805 = 0

E chegou a hora da famosa equação de Bhaskaras

d = 0,4 ± - 0,4 2 - 4 ⋅ 3,78 ⋅ - 0,805   2 ⋅ 3,78

d = 0,4 ± 3,5 7,56

Só vamos ter um valor possível para d , o valor em que ele é positivo

d = 0,4 + 3,5 7,56 = 0,51   m

Resposta

d = 0,51   m

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