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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 18

3.18. Um plano contém os vetores A e B. Determine o vetor unitário normal ao plano quando A e B são iguais, respectivamente, (a) î + 2 j ^ - 5 k ^ e 4   î - 7 j ^ - 5 k ^ , (b) 3   î - 3   j ^ + 2   k ^ e - 2   î + + 6   j ^ - 4 k ^

Passo 1

Bem, o que a gente precisa saber aqui é um produto vetorial entre dois vetores A e B gera um novo vetor que é perpendicular aos vetores A e B ao mesmo tempo. Então um vetor normal ao plano vai ser formado por

u → = A × B

Agora para fazer isso virar um vetor unitário, basta dividir por seu módulo

u ^ = A × B A × B

Vamos calcular isso então para o item (a)

A =   î + 2 j ^ - 5 k ^

B = 4   î - 7 j ^ - 5 k ^

u → = î j ^ k ^ 1 2 - 5 4 - 7 - 5

Por Laplace

u → = - 10 - 35 î + - 20 + 5 j ^ + - 7 - 8 k ^

u → = - 45   î - 15   j ^ - 15   k ^

u → = 15 - 3   î - 1   j ^ - 1   k ^

Então

û = 15 - 3   î - 1   j ^ - 1   k ^ 15 - 3 2 + - 1 2 + - 1 2

û = 15 - 3 î - j ^ - k ^ 15 11

û = - 3 î - j ^ - k ^ 11

Passo 2

Vamos fazer a mesma coisa para o item (b)

A =   3   î - 3   j ^ + 2   k ^

B = - 2   î + 6   j ^ - 4 k ^

u → = î j ^ k ^ 3 - 3 2 - 2 6 - 4

Por Laplace

u → = 12 - 12 î - - 12 + 4 j ^ + 18 - 6 k ^

u → = 8   j ^ + 12   k ^

Então

û = 8   j ^ + 12   k ^ 8 2 + 12 2

û = 4 2 j ^ + 3 k ^ 4 13 = 2 j ^ + 3 k ^ 13

Resposta

(a)

û = - 3 î - j ^ - k ^ 11

(b)

û = 2 j ^ + 3 k ^ 13

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