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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 36

36- A barra uniforme de massa m e comprimento L é sustentada no plano vertical por duas molas idênticas com rigidez k é comprimidas de um comprimento δ na posição vertical, θ = 0 . Determine a rigidez mínima k que garantirá uma posição de equilíbrio estável com θ = 0 . Pode-se considerar que as molas atuam na direção horizontal durante um pequeno movimento angular da barra.

Passo 1

Assumindo que na base da barra temos a linha de energia potencial gravitacional igual a zero temos a energia potencial gravitacional respeitando a posição y de centro de massa da barra que nos dá a altura igual a:

h = l 2 cos ⁡ θ

Logo a energia potencial gravitacional é igual a:

V g = 1 2 m g l   c o s   θ

Já a para a energia potencial elástica temos que imaginar o seguinte. Enquanto uma estica L sin ⁡ θ   a outra se contrai L sin ⁡ θ   e inicialmente as duas molas foram colocadas no sistema comprimidas de δ logo:

V e = 1 2 K δ + L s i n   θ 2 + 1 2 K δ - L s i n θ 2

Onde 1 2 K ( δ + L sin ⁡ θ ) 2   é a energia da mola sendo comprimida pela barra e pela outra mola e 1 2 K δ - L s i n   θ 2 é a energia a mola sendo comprimida pela outra mola e esticada pela barra.

Logo a energia total do sistema será:

V = 1 2 K δ + L s i n   θ 2 + 1 2 K δ - L s i n θ 2 + 1 2 m g l c o s   θ

V = 1 2 m g L c o s   θ + 1 2 K ( δ 2 - 2 L δ sin ⁡ θ + L 2 sin 2 ⁡ θ + δ 2 + 2 L δ sin ⁡ θ + L 2 sin 2 ⁡ θ )  

V = 1 2 m g L cos ⁡ θ + K ( δ 2 + L 2 sin 2 ⁡ θ )  

Passo 2

Fazendo a primeira derivada do sistema temos:

d V d θ = - 1 2 m g L s i n   θ + 2 K L 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Fazendo a regra da cadeia na segunda parcela nós encontraremos a segunda derivada do sistema:

d V d θ = - 1 2 m g L c o s   θ + 2 K L 2 cos 2 ⁡ θ - 2 K L 2 sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Encontrando os pontos de equilíbrio do sistema temos:

- 1 2 m g L s i n   θ + 2 K L 2 sin ⁡ θ c o s θ = 0

Explicitando sin ⁡ θ :

2 K L 2 cos ⁡ θ - 1 2 m g L s i n θ = 0

Temos ou que sin ⁡ θ = 0   ou 2 K L 2 cos ⁡ θ - 1 2 m g L = 0

Para o primeiro caso temos que θ = 0 ou θ = π no segundo caso temos que :

c o s θ = m g 4 K L

Passo 4

Para θ = 0 temos para a derivada segunda sendo estável (valor positivo):

- 1 2 m g L + 2 K L 2 - 0 > 0

2 K L 2 > 1 2 m g L

Isolando k :

K > 1 4 m g L L 2

k > m g 4 L

Logo a menor rigidez será:

k m i n = m g 4 L

Já que em θ = 0 temos um ponto de equilíbrio e que a segunda condição se satisfaz também.

Resposta

k m i n = m g 4 L

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