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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 37

37- A barra de massa m com centro de massa em G gira ao redor de um eixo horizontal passando por O . Verifique as condições de estabilidade para as duas posições de equilíbrio.

Passo 1

O sistema só está sendo influenciado pela energia potencial gravitacional. Logo a energia total será:

V = V g

E como o eixo x é o nosso eixo de referência para energia potencial gravitacional ser zero então a altura da barra para o centro de gravidade em função de θ para o eixo y será:

h = b c o s   θ

Logo a energia do sistema será:

V = V g = m g b c o s   θ

Passo 2

Derivando em relação a θ a equação nós encontraremos os pontos de equilíbrio.

d V d θ = m g b ( - sin ⁡ θ ) = - m g b s i n   θ

Igualando essa equação a zero nós encontramos:

sin ⁡ θ = 0

Logo:

θ = 0           θ = π

Passo 3

Para sabermos se esses pontos são estáveis ou não vamos encontrar a segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = d ( - m g b s i n   θ ) d θ = - m g b c o s   θ

Para θ = 0 :

d 2 V d θ 2 = - m g b cos ⁡ 0 = - m g b

Como os valores de m ,   g e b são positivos logo para θ = 0 o sistema é instável.

Agora para θ = π

d 2 V d θ 2 = - m g b cos ⁡ π = - m g b ( - 1 ) = m g b

Logo o sistema é estável para θ = π

Resposta

θ = 0 → e s t á v e l

θ = π → i n s t á v e l

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