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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 48

48- Determine a altura máxima h da massa m para a qual o pêndulo invertido será estável na posição vertical mostrada. Cada uma das molas tem rigidez k e elas estão igualmente pré-comprimidas nessa posição. Despreze a massa do restante do mecanismo.

Passo 1

Vamos inclinar a massa em θ da seguinte maneira:

A energia potencial gravitacional será:

V g = m g h c o s   θ

Já que a massa é o único peso do sistema.

Quanto a energia potencial elástica, inicialmente vamos considerar as duas molas comprimidas de δ e enquanto uma massa está comprimida pela barra a outra está esticada de mesmo módulo igual a Δ x que valerá:

Δ x = b s i n   θ

Logo a energia elástica será dada por:

V e = 1 2 K δ + b s i n   θ 2 + 1 2 K δ - b s i n   θ 2

V e = 1 2 K ( 2 δ 2 + 2 b 2 sin 2 ⁡ θ )  

Logo a energia total do sistema será:

V = 1 2 K ( 2 δ 2 + 2 b 2 sin 2 ⁡ θ )   + m g h c o s   θ

Passo 2

Fazendo a primeira derivada pela regra da cadeia em relação a θ nós teremos:

d V d θ = 2 K b 2 s i n θ cos ⁡ θ - m g h s i n   θ

Dessa equação conseguimos ver que θ = 0 é um ponto de equilíbrio.

Agora a segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = 2 K b 2 cos 2 ⁡ θ - 2 K b 2 sin 2 ⁡ θ - m g h c o s   θ

Passo 3

A posição vertical para o nosso sistema representa a angulação de θ = 0 e para que o sistema seja estável devemos aplicar:

d 2 V d θ 2 > 0

Para que o sinal seja positivo.

E com θ = 0 . Logo:

2 K b 2 cos 2 ⁡ 0 - 2 K b 2 sin 2 ⁡ 0 - m g h c o s   0 > 0

2 K b 2 - 0 - m g h > 0

2 K b 2 > m g h

Isolando h para responder a questão temos:

2 K b 2 m g > h

Resposta

h < 2 K b 2 m g

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Sabendo que as engrenagens têm a mesma massa m , determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio:
Sabendo que as barras possuem o mesmo comprimento l e o peso da engrenagem em AB é de 13,5N e o da engrenagem da barra CD é 9N, determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso
Desprezando o peso dos blocos, determine 3 posições de equilíbrio para W = 1350 N ,l = 400 m m e k = 13,5 k N / m m
Sabendo que a mola está indeformada quando θ = 0 , dado P = 135 N ,a = 100 m m ,b = 75 m m ,r = 150 m mek = 0,9 k N / m d e t e r m i n e dois valores de θ para equilíbrio e determine a estabilidade p
Sabendo que a mola está indeformada quando y = 0 , determine o valor de y para equilíbrio quando W = 80 N ,l = 500 m m e k = 600 N / m m .