41- Duas barras idênticas estão soldadas em um ângulo de 120 e são articulas em O , como mostrado. A massa do apoio é pequena em comparação a massa das barras. Investigue a estabilidade da posição de equilíbrio mostrada.

Passo 1

O bizu dessa questão é calcularmos o centro de gravidade dessa figura. Já que ela se trata de uma figura simétrica, rotacionada em torno de O e a distância do centro de gravidade a articulação O é constante.

Considerado que a massa de cada barra é de m / 2 . A fórmula do centro de massa é:

y - = m 2 L 2 cos ⁡ 6 0 + m 2 L 2 cos ⁡ 6 0   m 2 + m 2 = L 4

Para calcular o centro de massa obrigatoriamente temos que espelhar a altura dele na vertical. Para isso usamos o ângulo de 60 ° que é complementar ao de 30 ° dentro do triângulo retângulo que a barra forma com o seu centro.

Passo 2

Porém nosso sistema tem como referência o ponto O e o centro de gravidade do sistema tem que incluir a articulação O que faz parte do sistema só que tem massa desprezível, como em x a figura é simétrica logo o centro de gravidade está exatamente abaixo da articulação de modo que:

Agora podemos calcular a energia potencial gravitacional do sistema que é:

V = V g = m g h

Onde h é a diferença entre o ponto O e o ponto G que é a diferença entre o menor ponto do sistema e o seu centro de gravidade(lembrando que o sistema está abaixo da linha de energia potencial gravitacional nula, então ela é negativa), logo:

h = - l 4 - l 5 cos ⁡ θ = - l 20 cos ⁡ θ

Logo a energia potencial gravitacional é:

V = - m g l 20 cos ⁡ θ

Passo 3

Derivando a energia potencial em relação a θ nós teremos:

d V d θ = m g l 20   s e n   θ

Para θ = 0 temos:

d V d θ = m g l 20   s e n   0 = 0

O que caracteriza um ponto de equilíbrio.

Logo a segunda derivada , temos:

d 2 V d θ 2 = m g l 20 cos ⁡ θ

Para θ = 0 :

d 2 V d θ 2 = m g l 20 cos ⁡ 0 = m g l 20

O que configura um sistema estável.

Resposta

Estável.

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