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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 38

38- O pequeno cilindro de massa m e raio r está confinado a rolar sobre a superfície circular de raio R . Usando os métodos desta seção, prove que o cilindro é instável no caso a ) e estável no caso b )

Passo 1

Caso a )

Não temos energia elástica no sistema e temos a energia potencial gravitacional nula no centro desse círculo que forma o caminho da bola.

A medida que a bola se desloca no caminho sua altura varia nesse sistema de acordo com sua altura total e o ângulo θ e é igual a:

h = R + r cos ⁡ θ

Com isso a energia total do sistema será a potencial gravitacional que é:

V = V g = m g R + r cos ⁡ θ

Passo 2

Encontrando a segunda derivada desses sistema nós temos:

d V d θ = - m g R + r sin ⁡ θ

E a segunda derivada é:

d 2 V d θ 2 = - m g R + r cos ⁡ θ

A figura encontra-se em θ = 0 e nesse caso:

d 2 V d θ 2 = - m g R + r → n e g a t i v o

O que caracteriza em um sistema instável, já que m , g , R e r são positivos.

Passo 3

Para o caso b ) temos:

Como nesse caso a altura do centro da esfera encontra-se abaixo da linha de energia pontecial gravitacional nula nós temos que escrever sua variação de altura negativamente também.

h = - R + r cos ⁡ θ

Logo a energia potencial gravitacional desse sistema será:

V g = - m g R - r cos ⁡ θ

Passo 4

Fazendo a primeira derivada temos:

d V d θ = m g R - r sin ⁡ θ

E a segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = m g R - r cos ⁡ θ

Para θ = 0 que é a condição inicial do sistema temos:

d 2 V d θ 2 = m g R - r → p o s i t i v o

Logo o sistema é estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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