56- Determine por meio de cálculos se o semicilindro homogêneo e a casca semicilíndrica permanecerão nas posições mostradas ou se eles rolarão sobre os cilindros inferiores.

Passo 1

Das disciplinas de cálculo e do capítulo 5 desse livro nós sabemos que o centroide de semicírculo é de:

y - = 4 r 3 π

E de uma casca semicilíndrica é de:

y - = 2 r π

Para y saindo do centro desse semicírculo, tal como nas imagens abaixo.

Passo 2

Agora resolvendo o sistema de modo genérico (ou seja entortando o corpo de cima um ângulo θ no plano) temos a seguinte representação( considerando que o eixo nulo está na base):

Entendendo o rebatimento de ângulos na figura entende-se tranquilamente o problema todo. Como os dois cilindros tem o mesmo raio pode-se calcular o valor de β da seguinte maneira:

θ r = β r → θ = β

Pois é o comprimento do arco feito pelos dois círculos na movimentação do circulo maior (não há nenhum translado).

Logo rebatendo a altura de G 1 na vertical temos:

h G 1 = 2 r c o s   θ - r - cos ⁡ 2 θ

O que dá uma equação de energia potencial gravitacional igual a, considerando que o corpo superior tem massa m :

V = m g 2 r c o s   θ - r - cos ⁡ 2 θ

Passo 3

Derivando essa equação em relação a θ temos:

d V d θ = m g ( - 2 r sin ⁡ θ + 2 r - sin ⁡ 2 θ )

Derivando de novo temos:

d 2 V d θ 2 = m g ( - 2 r c o s   θ + 4 r - cos ⁡ ( 2 θ ) )  

Para θ = 0 temos:

d 2 V d θ 2 = 2 m g - r + 2 r -

Substituindo os valores de r - temos:

Para a letra a ) onde r - = 4 r / 3 π

d 2 V d θ 2 = 2 m g r 4 3 π - 1

Como 4 / 3 π é menor que 1 então o sistema na letra a ) é instávell em θ = 0

Para a letra b onde r - = 2 r π

d 2 V d θ 2 = 2 m g r - 1 + 4 π

Como 4 π > 1 então a equação é positiva, o que configura em um sistema estável.

Resposta

  1. Instável
  2. Estável
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