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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 50

50- O sistema formado por uma barra leve articulada, a massa m da extremidade e a mola de rigidez k são mostrados em sua posição de equilíbrio. O parâmetro n é uma fração situada na faixa 0 < n < 1 . Mostre que o sistema é estável para todos os valores de n na faixa permissível.

Passo 1

Para calcular a energia potencial gravitacional desse sistema vamos calcular a força elástica causada por essa massa m ao calcular a somatória dos momentos em O .

Fazendo a somatória dos momentos em O ser nula nós temos:

F e l = - m g 1 - n L n L = m g ( 1 - n ) n

Sendo uma força de compressão na mola.

Como a deformação é calculada por :

F e l = k δ

Temos que a deformação inicial na mola é calculada por:

δ = m g ( 1 - n ) n k

Passo 2

Vamos abaixar nossa massa um pouquinho e traçar nosso eixo nulo de energia potencial gravitacional, podermos encontrar as energias do sistema.

Dessa forma estaremos girando para θ positivo e o eixo nulo de energia potencial gravitacional passa pelo centro de giro da barra

A variação da altura da massa é então dada por:

h = 1 - n L s i n   θ

Logo a energia gravitacional será:

V g = - m g 1 - n L sin ⁡ θ

Pois está abaixo da linha de energia gravitacional nula.

Agora a variação de deformação elástica da mola será:

δ θ = n L s i n   θ

Logo a energia potencial elástica do sistema será:

V e = 1 2 K m g 1 - n n k + n L s i n   θ 2

Logo a energia total do sistema será:

V = V g + V e

V = - m g 1 - n L sin ⁡ θ + 1 2 K m g 1 - n n k + n L s i n   θ 2

Arrumando essa equação melhor nós teremos:

V = m 2 g 2 1 - n 2 2 k n 2 + n 2 L 2 k s i n 2 θ 2

Passo 3

Se derivarmos em relação a θ essa equação nós teremos:

d V d θ = 0 + n 2 L 2 k sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Para θ = 0 encontramos:

d V ( 0 ) d θ = n 2 L 2 k sin ⁡ 0 cos ⁡ ( 0 ) = 0

O que torna esse ângulo uma posição de equilíbrio para o sistema.

Passo 4

Agora derivando pela segunda vez, utilizando a regra do produto, na equação de energia nós encontramos:

d 2 V d θ 2 = n 2 L 2 k cos 2 ⁡ θ - n 2 L 2 sin 2 ⁡ θ

Agora aplicando θ = 0 nós iremos encontrar:

d 2 V 0 d θ 2 = n 2 L 2 kcos ⁡ 0 - n 2 L 2 k sin ⁡ 0 = n 2 L 2 k

Como n > 0 , L > 0 e k > 0 logo podemos dizer que que o sistema é estável para todo valor de n imposta pelo problema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Usando o método da seção 10.8, resolva o probelma 10.31.
Usando o método da seção 10.8, resolva o probelma 10.36.
Usando o método da seção 10.8, resolva o probelma 10.38.
Determine o valor de θ para equilíbrio e a estabilidade deste. Despreze o atrito nas correias e considere as barras com massa m e nto l .
Se a mola está indeformada quando seu comprimento vale o raio r , determine o valor do ângulo para equilíbrio se W = 225 N ,r = 225 m m ek = 2,7 k N / m .