39. Levando em consideração a variação da aceleração gravitacional a com relação à altitude y ( ve Problema 12.38), deduza uma equação que relacione a velocidade de uma partícula caindo livremente com sua a sua altitude. Suponha que a partícula é solta a partir do repouso a uma altitude y 0 da superfície terrestre. Com que velocidade a partícula atinge a terra se ela for solta do repouso a uma altitude y 0 = 500 k m ? Utilize os dados numéricos no Problema 12.38.

Passo 1

Conhecemos a seguinte relação:

v d v = a d s

Neste caso

v d v = a d y

∫ 0 v v d v = ∫ y 0 y - g 0 R 2 R + y 2 d y

v 2 2 0 v = g 0 R 2 R + y y 0 y

v 2 2 = g 0 R 2 R + y - g 0 R 2 R + y 0

v = 2 g 0 R 2 R + y - g 0 R 2 R + y 0

Passo 2

Sendo assim, a velocidade com que ela atinge o solo pode ser dada por:

v = 2 9,81 ( 6356 x 10 3 ) 2 6356 x 10 3 + 0 - 9,81 ( 6356 x 10 3 ) 2 6356 x 10 3 + 500 x 10 3

v = 3016   m / s

Resposta

v = 3016   m / s

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