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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 52

Um material está sujeiro às tensões principais σ x e σ y . Determine a orientação θ de um extensômetro coloca em um ponto, de modo que sua leitura da deformação normal responda apenas a σ y e não a σ x . As constantes do material são E e v

Passo 1

Vamos aplicar a Equação 9.1:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 c o s ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Vamos encontrar um eixo n em que o cisalhamento seja nulo: τ x y = 0

σ n = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 c o s ⁡ 2 θ

Vamos decompor o cosseno como: cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

σ n = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 ( 2 cos 2 ⁡ θ - 1 )

Simplificando:

σ n = σ x + σ y 2 + ( σ x - σ y ) cos 2 ⁡ θ - σ x - σ y 2             = σ x 2 + σ y 2 + σ x cos 2 ⁡ θ - σ y cos 2 ⁡ θ - σ x 2 + σ y 2             = σ y + σ x cos 2 ⁡ θ - σ y cos 2 ⁡ θ             = σ x cos 2 ⁡ θ + σ y ( 1 - cos 2 ⁡ θ )

Como 1 - cos 2 ⁡ θ = sen 2 ⁡ θ

σ n = σ x cos 2 ⁡ θ + σ y s en 2 ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos utilizar o mesmo raciocínio para encontrar um eixo ortogonal à n .

σ n + 90 = σ n ( θ + 90 º )

Então:

σ n + 90 = σ x cos 2 ⁡ θ + 90 + σ y sen 2 ⁡ θ + 90                         = σ x cos ⁡ θ + 90 2 + σ y s en ⁡ θ + 90 2                         = σ x - s en ⁡ θ 2 + σ y cos ⁡ θ 2

Chegamos em:

σ n + 90 = σ x s en 2 ⁡ θ + σ y co s 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora aplicamos na equação 10.18

ϵ n = 1 E ( σ n - v ⋅ σ n + 90 )

Substituíndo os valores:

ϵ n = 1 E ( σ x cos 2 ⁡ θ + σ y sen 2 ⁡ θ - v ⋅ ( σ x sen 2 ⁡ θ + σ y cos 2 ⁡ θ ) )

Simplificando:

ϵ n = 1 E ( σ x cos 2 ⁡ θ + σ y sen 2 ⁡ θ - v ⋅ σ x sen 2 ⁡ θ - v ⋅ σ y cos 2 ⁡ θ )

ϵ n = σ x cos 2 ⁡ θ - v sen 2 ⁡ θ + σ y sen 2 ⁡ θ - v cos 2 ⁡ θ E  

Passo 4

A questão pede que a deformação seja independente do valor de σ x . Se considerarmos a situação trivial que σ x ≠ 0 , então para que na fórmula de ϵ n não apareça σ x é:

cos 2 ⁡ θ - v sen 2 ⁡ θ = 0

Mas se isso for verdade, podemos remodelar para:

cos 2 ⁡ θ 1 - v sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 0

Novamente ignorando a situação trivial em que cos 2 ⁡ θ = 0 , podemos concluir que:

1 - v ⋅ tan 2 ⁡ θ = 0

tan 2 ⁡ θ = 1 v

Isso implica que:

θ = arctan ⁡ 1 v

Resposta

θ = arctan ⁡ 1 v

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