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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 105

4/105) A corrente de elos de comprimento total L e de massa ρ por unidade de comprimento é liberada a partir do repouso em x = 0 no mesmo instante em que a plataforma parte do repouso em y = 0 e se desloca verticalmente para cima com uma aceleração constante a . Determine a expressão para a força total R exercida sobre a plataforma pela corrente t segundos após o movimento iniciar .

Passo 1

Então galera , pelo que aprendemos nesta seção , sabemos que a resultante ∑ F x de todas as forças externas deve ser igual a G ' , a taxa de variação no tempo da quantidade de momento linear do sistema, sendo assim :

∑ F x = G ' = m v ' + m ' u

Considerando a corrente inteira como um sistema com massa constante , temos que :

m ' = 0

Logo ,

G ' = m v '

Além disso , sabemos que as aceleração são dadas por :

x " = g           y " = a  

Integrando 2 vezes em relação a t para obter uma relação entre as velocidades e as posições , temos que :

x ' = g t         y ' = a t

x = 1 2 g t 2         y = 1 2 a t 2

Passo 2

Bom pessoal , sabemos que :

ρ = m L

Logo ,

m = ρ L

Sendo assim , aplicando a relação obtida no passo anterior , temos que :

G x = ρ L - x - y x ' - ρ x + y y '

Além disso , como visto anteriormente :

∑ F x = G x '  

Logo , derivando a equação de G x obtida anteriormente , achamos que :

ρ g L - R = ρ [ - x ' - y ' x ' + L - x - y x ]- ρ [( x'+y ')y'+( x+y )y " ]

ρ g L - R = ρ [ - x ' + y ' 2 - x + y x " +y" + L x " ]

Utilizando as relações de aceleração , velocidade e posição , obtemos que :

ρ g L - R = ρ [ - a + g 2 t 2 - 1 2 a + g 2 t 2 + L g ]

ρ g L - R = - 3 2 ρ a + g 2 t 2 + ρ g L

Portanto ,

R = 3 2 ρ a + g 2 t 2

Resposta

R = 3 2 ρ a + g 2 t 2

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