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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 112

4/112) A corrente de massa ρ por unidade de comprimento passa sobre a pequena polia que gira livremente e é liberada a partir do repouso com apenas um pequeno desequilíbrio h para iniciar o movimento . Determine a aceleração a e a velocidade v da corrente e a força R suportada pelo gancho em A , todas em termos de h conforme varia essencialmente de zero até H . Despreze o peso da polia e de sua estrutura de suporte e o peso da pequena parte dacorrente em contato com a polia . (sugestão: A força R não é igual a duas vezes as trações iguais T nacorrente tangente à polia .)

Passo 1

Então galera , aplicando as equações de equilíbrio que conhecemos e desprezando a massa da polia e o peso da pequena parte da corrente em contato com a polia , temos que :

∑ M 0 ≈ 0   e n t ã o   T 1 = T 2 = T

∑ F = m a   p a r a   a   c o r r e n t e

Logo ,

ρ g H + h - T = ρ H + h a           1

Assim como ,

T - ρ g H - h = ρ H - h a         2

Dessa forma , combinando as duas equações e eliminando T , obtemos que :

a = h H g         3

Passo 2

Substituindo o valor achado para a aceleração na equação de T achada anteriormente , temos que :

T = ρ H - h h H g + ρ g H - h

Logo ,

T = ρ g H - h 2 H     ( 4 )

Passo 3

Como o fluxo é constante , temos que para o sistema formado pela polia e a corrente :

∑ F y = m ' ∆ v y   :     2 T - R = ρ v ( v — v 0

Isolando , achamos que :

R = 2 T - 2 ρ v 2       ( 5 )

Além disso , como aprendido nesta seção , temos que :

v d v = a d h

Integrando os dois lados e substituindo a por h H g (valor achado no passo 1) , obtemos que :

∫ 0 v v d v = ∫ 0 h g H h d h

Logo ,

v 2 = g H h 2

Passo 4

Bom pessoal , isolando v , achamos que :

v = g H h         ( 6 )

Substituindo os valore obtidos (4) e (6) em (3) , encontramos que :

R = 2 ρ g H - h 2 H - 2 ρ g H h 2

Logo ,

R = 2 ρ g H - 2 h 2 H

Resposta

a = h H g

v = g H h  

R = 2 ρ g H - 2 h 2 H

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