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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 108

4/108) A corrente de comprimento L e massa ρ por unidade decomprimento é liberada a partir do repouso sobre a superfície horizontal lisa com uma parte desprezivelmente pequena pendurada x para iniciar o movimento . Determine (a) a aceleração a em função de x , (b) a tração T na corrente na borda lisacomo uma função de x , e (c) a velocidade do último elo A quando atinge a borda .

Passo 1

Então galera , para resolvermos este exercício , devemos lembrar que a equação de trabalho-energia é dada por :

U 1 - 2 ' = ∆ V g + ∆ T

E como o sistema é conservativo , sabemos que U 1 - 2 ' = 0 , sendo assim:

∆ V g + ∆ T = 0

Substituindo as relações para ∆ V g e ∆ T achadas nesta seção , obtemos que :

- ρ g x x 2 + 1 2 ρ L x ' 2 = 0

Isolando x ' na equação , achamos que :

g L x 2 = x ' 2

Logo ,

x ' = g L x

Para acharmos a aceleração , por sua vez , basta derivarmos a relação obtida acima :

a = x " = g L x ' = g L g L x  

Então ,

  a = g L x  

Passo 2

Bom pessoal , para obtermos uma função de x para a tração , aplicamos a equação de equilíbrio em relação ao sistema :

∑ F = m a   : T = ρ L - x g L x

Sendo assim , temos que :

T = ρ g x 1 - x L

Passo 3

Então pessoal , para acharmos a velocidade do último elo A , devemos lembrar da relação :

v d v = a x d x  

Integrando os dois lados da equação , obtemos que :

  ∫ 0 v v d v = g L ∫ 0 L x d x

Logo ,

v 2 2 = g L L 2 2

Isolando v na equação , achamos que :

v = g L

Resposta

a = g L x  

T = ρ g x 1 - x L

v = g L

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