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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 149a

N o   P r o b . 4.148 . determine:

  1. O valor de θ para qual as tensões em D encontra seu valor máximo.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M x = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   x

x   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I x x = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Sabemos que os momentos são dados por:

M z = - P r C o s θ

M x = - P r S e n θ

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Se definirmos a seção dessa seguinte maneira:

Teremos que:

A = b h

I x x = h b 3 12

I z z = b h 3 12

Como queremos a tensão em D, precisamos das coordenadas X e Z do ponto D, sendo assim teremos que:

Substituindo nas tensões teremos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ = - P b h + - P r C o s θ   .   h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   .   - b 2 h b 3 12

σ = - P b h - 12 P r C o s θ   .   h 2 b h 3 - 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ = - P b h - 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

Como queremos a tensão máxima, vamos derivar em função do ângulo θ e vamos igualar a zero, sendo assim teremos que:

0 = 6 P r S e n θ b h 2 - 6 P r C o s θ h b 2

Com isso teremos que:

6 P r C o s θ h b 2 = 6 P r S e n θ b h 2

6 P r h b 2 b h 2 6 P r = S e n θ C o s θ = T g θ

T g θ = h b

Com isso temos que lembrar que:

h = 200   m m

b = 150   m m

Substituindo, teremos que:

T g θ = h b = 200 150 = 1,33

θ = A r c T g   1 , 33 = 53,1 °

Ou ainda podemos fazer:

θ = 180 ° + 5 3,1 ° = 233,1 °

Resposta

  1. θ = 5 3,1 °   o u   θ = 23 3,1 °
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