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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 52

52. Determine o momento produzido pela força F em relação à diagonal OD do bloco retangular. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { - 3 i + 0 j + 0 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo OD, é dado por:

u → = r O → r O →

Onde r O →   é o vetor que sai do ponto O até o ponto D. Assim:

r O → = { 3 i + 3 j + 1,5 k }

r O → = 3 2 + 3 2 + 1,5 2

= 9 + 9 + 2,25

20,25 = 4,5

Logo:

u → = { 3 i + 3 j + 1,5 k } 4,5

= { 0,7 i + 0,7 j + 0,3 k }

Passo 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0,7 0,7 0,3 - 3 0 0 - 6 3 10

= 0,7 0 ⋅ 10 - 0 ⋅ 3 - 0,7 - 3 ⋅ 10 - 0 ⋅ - 6 + 0,3 - 3 ⋅ 3 - 0 ⋅ ( - 6 )

= 0,7 0 - 0 - 0,7 - 30 - 0 + 0,3 ( - 9 + 0 )

= 0,7 0 - 0,7 - 30 + 0,3 ( - 9 )

= 21 - 2,7 = 18,3   N ⋅ m

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M 0 → = M 0 u → = 18,3 ( 0,7 i + 0,7 j + 0,3 k )

= ( 12,8 i + 12,8 j + 5,5 k )

Resposta

O momento da força F é dado por:

M 0 → = ( 12,8 i + 12,8 j + 5,5 k )

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