5.30. Determine the z-coordinate of the centroid of the volume generated by revolving the shaded area around the z-axis through 360°.

Passo 1

Vamos lá, queremos descobrir o centro de massa no eixo z , e para isso vamos usar a equação

z - = ∫ z c d V V

Primeiro vamos descobrir o elemento de área d V .

Essa é a vista de frente do sólido, mas ele vai ser revolucionado, então se olharmos de cima só para essa marca vermelha que fizemos vamos ter algo assim:

A gente pode dizer que essa largura é sempre igual a z , se você olhar bem a figura vai perceber que o triângulo que usamos de referencia está dentre de um quadrado, isso nos dá uma simetria interessante que entrega esse resultado para a gente.

Então o elemento de volume é

d V = A   d z

E a área é a área entre os dois círculos da imagem. Vamos definir ρ = a - z , e temos

A = π a 2 - π a - z 2

Então

A = π a 2 - π a 2 - π z 2 + 2 π a z

A = 2 a z - z 2 π

Logo

d V = 2 a z - z 2 π   d z

Passo 2

Vamos continuar encontrando o volume da figura

V = ∫ d V

V = ∫ 0 a 2 a z - z 2 π   d z

Isso fica

V = π a z 2 - z 3 3 0 a  

Então o volume é:

V = π a 3 - a 3 3 = 2 3 π a 3

Passo 3

Agora finalmente podemos encontrar o ponto z - .

z - = ∫ z V d V

Isso fica

z - = 3 2 π a 3 ∫ 0 a z 2 a z - z 2 π   d z

z - = 3 2 a 3 ∫ 0 a 2 a z 2 - z 3   d z

Resolvendo essa integral

z - = 3 2 a 3 2 a z 3 3 - z 4 4 0 a

Então

z - = 3 2 a 3 2 a 4 3 - a 4 4

z - = 3 2 a 2 3 - 1 4 = 5 8 a

E chegamos a um resultado!

Resposta

z - = 5 8 a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados