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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 57

57. Foi mencionado no texto que os valores máximos das curvas para o fator de amplificação M não estão localizados em ω / ω n = 1 . Determine uma expressão, em termos do fator de amortecimento ζ , para a razão de frequências na qual o máximo ocorre.

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai lembrar a fórmula do fator de amplificação M :

M = 1 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2

Passo 2

Agora, devemos derivar a equação em relação a ω / ω n e igualar a 0 para acharmos o máximo da função e consequentemente a razão de frequências:

d d ω ω n M = d d ω ω n 1 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 = 0

Fazendo a regra do quociente, temos que:

0 = 0 ⋅ 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2 - 1 ⋅ d d ω ω n 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2 2

0 ⋅ 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2 2 = 0 - 1 ⋅ d d ω ω n 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2

0 = - 1 ⋅ d d ω ω n 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2

Essa derivada é bem difícil, né? Então pra facilitar, vamos chamar ω / ω n de x :

- d d ω ω n 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2 1 2 = - d d x 1 - x 2 2 + 2 ζ x 2 1 2

- 1 2 [ 1 - x 2 2 + 2 ζ x 2 ] - 1 2 ⋅ [ 2 1 - x 2 - 2 x + 2 2 ζ x 2 ζ ]

- 1 2 1 1 - x 2 2 + 2 ζ x 2 ⋅ 2 1 - x 2 - 2 x + 2 2 ζ x 2 ζ = 0

Como tudo está igualado a 0 , vamos multiplicar a equação por:

- 2 1 - x 2 2 + 2 ζ x 2

Fazendo isso em ambos os lados, o que simplificará bastante nossos cálculos:

2 1 - x 2 - 2 x + 2 2 ζ x 2 ζ = - 4 x + 8 x 3 + 8 ζ 2 x

- 4 x + 8 x 3 + 8 ζ 2 x = 0

Colocando x em evidência:

x - 4 + 8 x 2 + 8 ζ 2 = 0

E dividindo por x :

- 4 + 8 x 2 + 8 ζ 2 = 0

Isolando x 2 e simplificando a equação:

8 x 2 = - 8 ζ 2 - 4

x 2 = 1 - 2 ζ 2

x = 1 - 2 ζ 2

Voltando x para os valores originais:

ω ω n = x

ω ω n = 1 - 2 ζ 2

Resposta

A expressão será:

ω ω n = 1 - 2 ζ 2

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