Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas Desafiadores - Ex. 103
103. Vibração de molécula com ligação covalente. Muitas moléculas diatômicas são mantidas unidas por ligações covalentes que são muito mais fortes do que a interação de van der Waals. Exemplos dessas moléculas incluem e . As experiências mostram que, em muitas dessas moléculas, a interação pode ser descrita por uma força da forma
onde e são constantes positivas, é a distância entre os centros dos dois átomos e é a separação de equilíbrio. Para a molécula de hidrogênio , e . Calcule a constante da força para pequenas oscilações em torno do equilíbrio. (Sugestão: Consulte o Apêndice e use o desenvolvimento em série da função .) Compare o seu resultado com o valor dado no Exercício .
Passo 1
Para fazer o que o enunciado está pedindo, temos que deixar a fórmula da força que foi dada, de uma forma parecida com a força elástica, que é:
Onde é a constante no qual o enunciado está se referindo para ser encontrada.
Para manipular a expressão que temos vamos fazer o que foi sugerido pelo enunciado, que é expandir a função exponencial, só que da forma que temos ela está muito feia, então teremos que melhor um pouco a cara dela, para isso podemos fazer o seguinte:
Fazer essa substituição também é boa, pois aparece um como na fórmula da força elástica.
Então nossa expressão fica:
Ela dessa forma é mais tranquila de expandir a exponencial.
A expansão da exponencial mostrada no apêndice é:
Só vamos usar os dois primeiros pois o restante assume valores muito pequenos e não a necessidade de inseri-los.
Passo 2
Vamos então aplicar a expansão na expressão da força, então:
Então ficamos com:
Se você comparar essa expressão com a da força elástica, vemos que:
E é esse valor que o enunciado quer.
Passo 3
Como sabemos o valor de e fornecidos pelo enunciado, temos que