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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 106

O comprimento da mola é ajustado de modo que a posição de equilíbrio do braço é horizontal conforme mostrado. Despreze a massa da mola e do braço e calcule a frequência natural f n para pequenas oscilações.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar as relações de torque resultante como também usaremos conservação de energia para encontrar a equação de oscilação para o sistema.

Passo 2

Vamos começar analisando as forças para o sistema em equilíbrio. Temos que no estado inicial, todas as forças estão em equilíbrio e não há torque resultante. Assim, temos que

τ = 0

F → e l a s t i c a + F → p e s o = 0

- k ⋅ Δ x ⋅ b ⋅ sin ⁡ 0 º - m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin ⁡ 0 º = 0

Δ x = m ⋅ g ⋅ l k ⋅ b

Agora sabemos como se dá o deslocamento da mola. Podemos agora aplicar a conservação de energia para quando o sistema entra em movimento. Para o deslocamento, temos que quando a mola sai do equilíbrio teremos uma quantidade de deslocamento a mais causada pelo ângulo que será b ⋅ sin ⁡ θ . Temos então que

E = T + U

E = 1 2 ⋅ m ⋅ l ⋅ θ ˙ 2 + 1 2 ⋅ k ⋅ m ⋅ g ⋅ l k ⋅ b + b ⋅ sin ⁡ θ 2 - m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin ⁡ θ

Se derivarmos a equação da energia mecânica, temos que d E d t = 0 . Assim, temos que

0 = d d t 1 2 ⋅ m ⋅ l ⋅ θ ˙ 2 + 1 2 ⋅ k ⋅ m ⋅ g ⋅ l k ⋅ b + b ⋅ sin ⁡ θ 2 - m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin ⁡ θ

0 = m ⋅ l 2 ⋅ θ ¨ + k ⋅ m ⋅ g ⋅ l k ⋅ b + b ⋅ sin ⁡ θ ⋅ b ⋅ cos ⁡ θ ⋅ θ ˙ - m ⋅ g ⋅ l ⋅ cos ⁡ θ ⋅ θ ˙

0 = m ⋅ l 2 ⋅ θ ¨ + b 2 ⋅ k ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ θ 2

Tomando θ ≈ 0 , temos que sin ⁡ 2 ⋅ θ ≈ 2 ⋅ θ . Assim, ficamos com

θ ¨ + k ⋅ b 2 m ⋅ l 2 ⋅ θ = 0

Temos então que nossa frequência angular natural será ω n = k ⋅ b 2 m ⋅ l 2 e temos que a frequência f n será

f n = ω n 2 ⋅ π = 1 2 ⋅ π ⋅ b l ⋅ k m

Resposta

f n = 1 2 ⋅ π ⋅ b l ⋅ k m

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