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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.7 - Ex. 81

81- A seção axial de dois discos circulares que se encaixam está mostrada. Obtenha uma expressão para o torque M necessário para girar o disco superior sobre o disco inferior que está fixo, se a pressão p entre os discos segue a relação p = k / r 2 , onde k é uma constante a ser determinada. O coeficiente do atrito μ é constante sobre toda a superfície.

Passo 1

Do parte teórica dessa seção temos que o nosso elemento de momento pode ser calculado a partir da figura abaixo:

E ele vale:

d M = μ r p   d A

Onde o coeficiente de atrito μ é constante em toda a superfície, r é o raio do disco e p vale k / r 2 . O que nos deixa com o elemento de momento igual a:

d M = μ k r   d A

Passo 2

Transferindo de coordenadas cartesianas para coordenadas polares nós temos a seguinte integral.

M = ∫ 0 2 π ∫ r i r o μ k r r   d r d θ

Onde θ faz uma revolução completa por isso vai de 0 até 2 π e a superfície do eixo giratório vai do raio r i até r 0 .

Logo:

M = 2 π μ k ( r 0 - r i )

Precisamos agora determinar esse valor de k .

Passo 3

E esse valor k está intimamente ligada com o valor de carga radial que esse disco vai sofrer e ela pode ser calculada a partir da seguinte integral.( visto na página 269)

L = ∫ p   d A

∫ 0 2 π ∫ r i r 0 k r 2 r   d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ r i r 0 k r d r = 2 π k [ ln ⁡ r ] r i r 0 = 2 π k ( ln ⁡ r i - ln ⁡ r i )

L = 2 π k ln ⁡ r i r o

Logo o valor de k será:

k = L 2 π ln ⁡ r i r o

Substituindo na equação do momento teremos:

M = μ L ( r o - r i ) ln ⁡ r o r i

Resposta

M = μ L ( r o - r i ) ln ⁡ r o r i

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