Enunciado

9.100 Determine a área da superfície e o volume da roda formada pelo giro da seção transversal 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 6 segmentos de reta e dois arcos de circunferência:

Mas perceba que as retas com as mesmas cores (verdes, amarelas e roxas) são iguais, ou seja elas vão gerar áreas iguais. Então, só precisamos fazer a conta da área dessas retas uma vez e multiplicar por dois.

A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ ∑ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

Agora precisamos encontrar o r - e o L de cada curva.

Passo 2

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo z , ao centroide da curva de geração.

O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro.

Então a distância do centroide ao eixo das retas verdes e roxas é a própra distância das retas ao eixo:

r - r o x a = 10 + 10 + 40 = 60   m m

r - v e r d e = 10 + 10 = 20   m m

Para a reta amarela:

r - a m a r e l a = 10 + 10 + 40 2 = 40   m m

E o controide do arco de circunferência tabelado, então o r - das curvas vermelha e azul vai ficar

r - v e r m e l h o = 20 - 2 R π

r - v e r m e l h o = 20 - 2 10 π

r - v e r m e l h o = 13,63   m m

e

r - a z u l = 60 + 2 R π

r - a z u l = 60 + 2 15 π

r - a z u l = 69,54   m m

Passo 3

L é o comprimento da curva de geração.

Nós já temos o tamanho das retas:

L r o x a = 10   m m

L v e r d e = 5   m m

L a m a r e l a = 40   m m

A parte vermelha é metade de uma circunferência de raio 10:

L v e r m e l h o = 1 2 ⋅ 2 π R

L v e r m e l h o = π 10

L v e r m e l h o = 31,42   m m

E a parte azul é metade de uma circunferência de raio 15:

L a z u l = 1 2 ⋅ 2 π R

L a z u l = π 15

L a z u l = 47,12   m m

Passo 4

Agora só multiplicar aplicar na fórmula, lembrando que devemos multiplicar por 2 a área das retas verde, amarela e roxa:

A = 2 π 2 60 10 + 2 20 5 + 2 40 40 + 13,63 31,42 + 69,54 47,12

A = 52,2 ⋅ 10 3   m m 2

Passo 5

E para calcular o volume, vamos separar o sólido em um retângulo e dois semi circulo, para fazer a revolução deles:

A fórmula para determinar o volume é:

V = θ ∑ r - A

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração. O centroide de um retângulo fica bem no meio dele, então

r - v e r d e = 10 + 10 + b 2

r - v e r d e = 10 + 10 + 40 2

r - v e r d e = 40   m m

E o centroide de um semicírculo é tabelado:

Semicrculo azul:

r - á z u l = 10 + 10 - 4 ⋅ r 3 π

r - a z u l = 10 + 10 - 4 ⋅ 10 3 π

r - a z u l = 15,76   m m

Semicrculo roxo:

r - r o x o = 10 + 10 + 40 + 4 ⋅ r 3 π

r - r o x o = 10 + 10 + 40 + 4 ⋅ 15 3 π

r - r o x o = 66,37   m m

E A é a área de geração, ou seja a área de cada formato.

Retângulo amarelo:

A a m a r e l o = b h

A a m a r e l o = 40 10

A a m a r e l o = 400   m m 2

Semicrculo azul:

A a z u l = 1 2 ⋅ π r 2

A a z u l = 1 2 ⋅ π 10 2

A a z u l = 157,1   m m 2

Semicrculo roxo:

A r o x o = 1 2 ⋅ π r 2

A r o x o = 1 2 ⋅ π 35 2

A r o x o = 353,4   m m 2

Passo 6

Então é só aplicar na fórmula e obteremos o volume:

V = θ ∑ r - A

V = 2 π 40 400 + 15,76 157,1 + 66,37 353,4

V = 263 ⋅ 10 3   m m 3

Resposta

A = 52,2 ⋅ 10 3   m m 2

V = 263 ⋅ 10 3   m m 3

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