Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 100
9.100 Determine a área da superfície e o volume da roda formada pelo giro da seção transversal em torno do eixo .
Passo 1
Para gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 6 segmentos de reta e dois arcos de circunferência:
Mas perceba que as retas com as mesmas cores (verdes, amarelas e roxas) são iguais, ou seja elas vão gerar áreas iguais. Então, só precisamos fazer a conta da área dessas retas uma vez e multiplicar por dois.
A fórmula para determinar a área superficial é:
Onde é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso
Agora precisamos encontrar o e o de cada curva.
Passo 2
é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo , ao centroide da curva de geração.
O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro.
Então a distância do centroide ao eixo das retas verdes e roxas é a própra distância das retas ao eixo:
Para a reta amarela:
E o controide do arco de circunferência tabelado, então o das curvas vermelha e azul vai ficar
e
Passo 3
é o comprimento da curva de geração.
Nós já temos o tamanho das retas:
A parte vermelha é metade de uma circunferência de raio 10:
E a parte azul é metade de uma circunferência de raio 15:
Passo 4
Agora só multiplicar aplicar na fórmula, lembrando que devemos multiplicar por 2 a área das retas verde, amarela e roxa:
Passo 5
E para calcular o volume, vamos separar o sólido em um retângulo e dois semi circulo, para fazer a revolução deles:
A fórmula para determinar o volume é:
Onde é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso
é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração. O centroide de um retângulo fica bem no meio dele, então
E o centroide de um semicírculo é tabelado:
Semicrculo azul:
Semicrculo roxo:
E é a área de geração, ou seja a área de cada formato.
Retângulo amarelo:
Semicrculo azul:
Semicrculo roxo:
Passo 6
Então é só aplicar na fórmula e obteremos o volume: