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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 44

Determine por integração direta o centroide da área a seguir. Determine sua resposta em termos de a e b .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, precisamos dividir nossa área pois ela é definida por duas funções. Logo:

y 1 = k x 2

Para acharmos a constante k , vamo substituir:

2 b = k a 2

k = 2 b a ²

Logo:

y 1 = 2 b a 2 x ²

Para y 2 :

y 2 = - b a x + 2 b

y 2 = b 2 - x a

Agora, temos no intervalo 0 ≤ x ≤ a :

x ' = x

y ' = 1 2 y 1 = b a 2 x ²

Já para o intervalo a ≤ x ≤ 2 a :

y ' = 1 2 y 2 = b 2 2 - x a

Então, precisamos determinar o termo d A , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d A = y 1 d x

d A = 2 b a 2 x 2   d x

d A = y 2 = b 2 2 - x a

Para a área, vamos integrar o termo d A para ambos os intervalos. Fica assim:

  A = ∫ d A = ∫ 0 a   2 b a 2 x 2   d x + ∫ a 2 a   b 2 2 - x a   d x

= 7 6 a b

Passo 2

Agora, para encontrarmos as posições x - e y - do centroide, devemos utilizar a seguinte fórmula:

x - = ∫ x   d A ∫ d A

y - = ∫ y   d A ∫ d A

Como já temos a integral de d A , vamos calcular a integral do numerador:

∫ x   d A = ∫ 0 a   x 2 b a 2 x 2   d x + ∫ a 2 a   x b 2 2 - x a   d x = 7 6 a ² b

∫ y   d A

= ∫ 0 a   2 b a 2 x 2 b a 2 x 2   d x + ∫ a 2 a   b 2 2 - x a b 2 - x a   d x

= 17 30 a b ²

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denomidador, ficaremos com:

x - = a

y - = 17 35 b

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = a

y - = 17 35 b

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