Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 141
Determine por integração direta o centroide da área mostada na figura. Demonstre sua resposta em termos de e .
Passo 1
Beleza! Antes de começar, devido a simetria da área, temos que . Nesse exercício, devemos notar que a altura inferior para algum elemento diferencial na curva será dado pela equação da parte inferior, e analisando o ponto , temos:
Então, a equação para a parte inferior se torna:
Dessa forma, para a altura superior, fazendo , então, substituindo esses valores na equação da curva superior, temos:
Então, substituindo o valor de encontrado para a curva superior, temos:
Dessa forma, o elemento diferencial de altura e espessura será:
E, reescrevendo a expressão, temos:
E, nesse caso, a coordenada será:
Passo 2
Agora, pegando a expressão para o elemento diferencial de área e integrando dos dois lados, temos:
Resolvendo a integral do lado direito, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Simplificando a expressão, obtemos o valor para a área:
Nós sabemos que podemos relacionar o centro de massa de uma figura com a sua área através das seguintes fórmulas:
Passo 3
Então, para encontrar o valor do centro de massa, precisamos agora encontrar a parcela da direta das equações anteriores, então, para , substituindo os valores de e encontrados no passo 1:
Reescrevendo a integral, temos:
Resolvendo a integral, temos:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando a expressão, temos:
E, susbtituindo os valores conhecidos na última equação do passo 2, temos:
Isolando e resolvendo: