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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 92

Água é liberada de uma mangueira com uma velocidade escalar de v a = 12   m / s . Determine os dois ângulos possíveis para que o bombeiro segure a mangueira de maneira que a água atinja o prédio em B. Considere s = 6   m .

Passo 1

Verifica-se que trata-se de um problema de lançamento oblíquo. Nesse sentido adotar-se-á o sistema de coordenada x - y , por conveniência coincidindo com o ponto A , onde os eixos estão orientados positivamente para direita e para cima.

Pelas dimensões em x e y serem conhecidas, pode-se utilizar as seguintes equações: x = x 0 + v 0 t para o movimento horizontal e y = y 0 + v 0 y t + 1 2 a y t 2 para o movimento vertical.

Passo 2

Para o movimento horizontal do problema proposto,

x B = x A + v A x t

Analizando, verifica-se que x A = 0 , então

x B = v A c o s ⁡ ( θ ) t

Reorganizando para t

t = x B v A c o s ⁡ ( θ )                         ( 1 )

Passo 3

Para o movimento vertical do problema proposto,

y B = y A + v A y t + 1 2 a y t 2

Considerando que y A = 0 , então

y B = v A s e n θ t + 1 2 a y t 2             ( 2 )

Substituindo (1) em (2), temos

y B = v A s e n θ x B v A c o s θ + 1 2 a y x B v A c o s θ 2

Multiplicando por v A c o s θ 2 em ambos os membros e reorganizando,

y B v A c o s θ 2 = x B v A s e n θ v A c o s θ v A c o s θ 2 + 1 2 a y x B v A c o s θ 2 v A c o s θ 2

y B v A c o s θ 2 - x B v A s e n θ v A c o s θ - 1 2 a y x B 2 = 0

Reagrupando os termos,

y B v A c o s θ 2 - x B v A s e n θ v A c o s θ - 1 2 a y x B 2 = 0

y B v A 2 c o s 2 θ - x B v A 2 s e n θ c o s θ - 1 2 a y x B 2 = 0

Sabendo que

s e n θ c o s θ = 1 2 s e n ( 2 θ )

c o s 2 θ = 1 2 ( 1 + c o s ⁡ ( 2 θ ) )

Substituindo

y B v A 2 1 2 1 + c o s ⁡ ( 2 θ ) - x B v A 2 1 2 s e n ( 2 θ ) - 1 2 a y x B 2 = 0

Multiplicando ambos os membros por 2 e reorganizando

y B v A 2 + y B v A 2 cos ⁡ 2 θ - x B v A 2 s e n 2 θ = g x B 2

y B v A 2 cos ⁡ 2 θ - x B v A 2 s e n 2 θ = g x B 2 - y B v A 2

Dividindo ambos os membros por y B v A 2 , temos

cos ⁡ 2 θ - x B v A 2 y B v A 2 s e n 2 θ = g x B 2 - y B v A 2 y B v A 2

cos ⁡ 2 θ - x B y B s e n 2 θ = g x B 2 - y B v A 2 y B v A 2

Sabendo que,

x B = s = 6   m

y B = 2,4 - 1,2 = 1,2   m

v A = 12   m / s

Substituindo os termos,

cos ⁡ 2 θ - 6 1,2 s e n 2 θ = - 9,81 6 2 - 1,2 12 2 1,2 12 2

cos ⁡ 2 θ - 5 s e n 2 θ = - 3,04375

5 s e n 2 θ - cos ⁡ 2 θ = 3,04375       ( 1 )

Resposta

Resolvendo a equação (1), temos

θ 1 =   23,8 °

θ 2 = 77,5 °

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