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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 26

A bobina tem uma massa de 100 kg e raio de giração de 400 mm em relação a seu centro de massa O. Se ela é liberada do repouso, determine sua velocidade angular após seu centro O haver descido pelo plano uma distância de 2 m. O coeficiente de atrito cinético entre a bobina e o plano inclinado é μ k = 0,15 .

Passo 1

Começaremos o exercício calculando a velocidade do centro de massa em função da velocidade angular da bobina

v O = ω r O = ω 0 , 3

Agora iremos calcular o momento de inércia da bobina em relação ao seu centro de massa:

I O = m k O 2 = 100 0,4 2 → I G = 16   k g . m 2

Sendo assim, a energia cinética do sistema é dada por:

T = 1 2 I O ω 2 + 1 2 m v O 2

T = 1 2 16 ω 2 + 1 2 100 ω 0,3 2

T = 12,5 ω 2

Passo 2

Como o sistema está inicialmente em repouso, T 1 = 0 . Através da analise da figura a seguir:

Sabemos que T e N não realizam trabalho, equanto W e F a realizam. Podemos encontrar o valor de N aplicando um somatório de forças na direção do plano inclinado representado na figura:

+ ↖ ∑ F y ' = m a a y '

N - 100 9,81 c o s 45 ° = 0 → N = 693,67   N

Dessa forma: F a = 0,15 693,67 = 104,05   N . Quando o centro da bobina se desloca de s O = 2   m :

h = s O s e n 45 ° = 2 s e n 45 ° → h = 1,4142   m

Temos ainda que a distância percorrida com relação a força de atrito é dada por:

s A = 0,9 0,3 s O = 0,9 0,3 2 → s A = 6   m

Passo 3

Sendo assim, o trabalho feito por W e F a são:

U W = W h = 100 9,81 1,4142 → U W = 1387,34   J

U F a = - F a s A = - 104,05 6 → U F a = - 624,3   J

Agora iremos aplicar o princípio do trabalho e da energia:

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

0 + ( 1387,34 - 624,3 ) = 12,5 ω 2

ω = 7,81   r a d / s

Resposta

ω = 7,81   r a d / s

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