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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 73

Uma partícula move-se ao longo da trajetória parabólica y = b x 2 . Se sua componente da velocidade ao longo do eixo y é v y = c t 2 , determine as componentes x e y da aceleração da partícula. Aqui, b e c são constantes.

Passo 1

Podemos integrar a equação dada no enunciado para encontrar uma nova equação de posição:

d y = v y d t

∫ 0 y d y = ∫ 0 t c t 2 d t

y = c 3 t 3

Passo 2

Substiuímos agora o resultado encontrado ao final do passo 1 na equação de posição dada no enunciado:

c 3 t 3 = b x 2

x = c 3 b t 3 2

Passo 3

Note que podemos determinar o componente x da velocidade da partícula calculando a primeira dericada de x :

v x = x ˙ = d y d x 3 2 c 3 b   t 1 2 = 3 2 c 3 b t 1 2

Passo 4

Podemos repetir o processo de derivação com o valor encontrado da componente x da velocidade para determinar o valor da componente x da aceleração:

a x = v ̇ x = d y d x 3 2 c 3 b   t 1 2 = 3 4 c 3 b t - 1 / 2 = 3 4 c 3 b 1 t

Derivamos a equação da componente y da velocidade para obter a componente y da aceleração:

a y = v ̇ y = d y d x c t 2 = 2 c t

Resposta

A componente x da aceleração é a x = 3 4 c 3 b 1 t  

A componente y da aceleração é a y = 2 c t  

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