Um carro está se movendo ao longo da estrada com a velocidade escalar de v = ( 300 / s )   m / s , onde s é dado em metros. Determine a intensidade da sua aceleração quando t = 3   s se t = 0 em s = 0 .

Passo 1

Para podermos determinar a aceleração tangencial, basta lembrarmos que:

a t = d v d t

Entretanto, como a velocidade é uma função de s , precisamos aplicar a regra da cadeia. Fazendo isto, obtemos:

a t = d v d s ⋅ d s d t = v ⋅ d v d s

E no final, obteremos a aceleração tangencial em função da posição! Sendo assim, para realmente resolvermos a questão, precisamos descobrir qual a posição do carro após 3 segundos.

Passo 2

Começaremos determinando a posição do carro após 3 segundos. Para isto, vamos utilizar as equações da cinemática na sua forma diferencial. Portanto,

d s = v d t

d s = 300 s d t

s   d s = 300   d t

Integrando ambos os membros, temos:

∫ 0 s s   d s = ∫ 0 3 300   d t

s 2 - 0 2 2 = 300 t 0 3

s 2 = 900 ⋅ 2

s = 42,4   m

Portanto, o carro percorreu 42,4   m neste tempo

Passo 3

Agora que descobrimos o espaço percorrido, vamos derivar a velocidade conforme a regra da cadeia discutida no Passo 1. Obtemos então:

a t = v ⋅ d v d s

a t = 300 s ⋅ - 300 s 2

a t = - 300 2 s 3

Portanto, quando s = 42,4   m , temos:

a t = - 1,18   m / s 2

Para calcularmos a sua componente normal, basta lembrar nas equações. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 300 42,4 2 100 = 0,5   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 0,5 2 + ( - 1,18 ) 2

a = 1,28   m / s 2

Resposta

a = 1,28   m / s 2

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