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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 39

Para o anel do Problema 2.35, determine (a) o valor necessário de α para que a resultante das forças seja na vertical, (b) a correspondente intensidade da resultante.

Passo 1

Bom galera, a gente vai encontrar as componentes horizontais e verticais de cada uma das forças que é dada por:

F x = F ⋅ cos ⁡ θ = F ⋅ b b 2 + a 2

F y = F ⋅ sin ⁡ θ = F ⋅ a b 2 + a 2

Passo 2

Show de bola, a gente sabe que a resultante será vertical, então a componente horizontal da resultante é 0 , então vamos usar isso agora:

R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x = 0

R x = 200 ⋅ cos ⁡ - 180 ° + α + 150 ⋅ cos ⁡ - 30 ° - α + 100 ⋅ cos ⁡ ( - α ) = 0

A soma de cosseno é dada assim:

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a ⋅ cos ⁡ b - sin ⁡ a ⋅ sin ⁡ b

Então, vamos aplicar isso na nossa equação de um por um:

R x = 0 = 200 ⋅ cos ⁡ - 180 ° + α + 150 ⋅ cos ⁡ - 30 ° - α + 100 ⋅ cos ⁡ ( - α )

0 = 200 cos ⁡ - 180 ° ⋅ cos ⁡ α - sin ⁡ - 180 ° ⋅ sin ⁡ ( α ) + 150 ⋅ cos ⁡ - 30 ° - α + 100 ⋅ cos ⁡ ( - α )

0 = 200 - 1 ⋅ cos ⁡ α - 0 ⋅ sin ⁡ α + 150 ⋅ cos ⁡ - 30 ° - α + 100 ⋅ cos ⁡ - α

0 = - 200 cos ⁡ α + 150 cos ⁡ ( - 30 ° - α ) + 100 ⋅ cos ⁡ - α

0 = - 200 cos ⁡ α + 150 cos ⁡ - 30 ° ⋅ cos ⁡ - α - sin ⁡ - 30 ° ⋅ sin ⁡ - α + 100 ⋅ cos ⁡ - α

0 = - 200 cos ⁡ α + 150 0,866 ⋅ cos ⁡ - α + 0,5 ⋅ sin ⁡ ( - α ) + 100 ⋅ cos ⁡ - α

0 = - 200 cos ⁡ α + 130 cos ⁡ - α + 75 sin ⁡ ( - α ) + 100 ⋅ cos ⁡ - α

Passo 3

Beleza, a gente já deve saber que o cosseno de α é igual ao cosseno de – α , pelas propriedades da trigonometria. Então, vamos continuar até resolver a equação:

0 = - 200 cos ⁡ α + 130 cos ⁡ - α + 75 sin ⁡ - α + 100 ⋅ cos ⁡ - α

0 = - 200 cos ⁡ α + 130 cos ⁡ α + 75 sin ⁡ α + 100 ⋅ cos ⁡ α

0 = - 200 + 130 + 100 cos ⁡ α + 75 sin ⁡ α

75 sin ⁡ α = - 30 cos ⁡ α

75 sin ⁡ α cos ⁡ α = - 30

75 tan ⁡ α = - 30

tan ⁡ α = - 30 75

Usando o inverso da tangente da calculadora, a gente encontra:

α = - 21,8 °

O negativo é porque α está no sentido horário no plano cartesiano.

Passo 4

Por último, a gente calcular a soma das componentes na vertical, porque a resultante atuará apenas na vertical:

R = R y = F 1 y + F 2 y + F 3 y

R = 200 ⋅ sin ⁡ - 180 ° + 21,8 ° + 150 ⋅ sin ⁡ - 30 ° - 21,8 ° + 100 ⋅ sin ⁡ - 21,8 °

R = - 74,3 - 117,9 - 37,1

R = - 229,3   N

Resposta

α = - 21,8 °

R = - 229,3   N

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