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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 167

Substitua as duas forças que atuam no sólido retangular por um torçor. Escreva o momento  M → associado ao torçor como um vetor e especifique as coordenadas do ponto P no plano x - y através do qual passa a linha de ação do torçor.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede duas coisas:

i) Substituir o sistema original, composto pelas duas forças, por um torçor e descrever na forma vetorial o momento M → associado a esse torçor;

ii) Determinar as coordenadas x e y do ponto P através do qual passa a linha de ação do torçor.

Show! Vamos começar definindo o torçor que substitui o sistema original. Para encontrá-lo precisamos primeiro da resultante atuante no sistema:

R → = F i ^ - F k ^

Agora temos que encontrar um momento, mas não sabemos sobre qual ponto, então vamos considerar um ponto qualquer P no plano x - y cujas coordenadas são ( x ,   y ,   0 ) e calculamos o momento sobre ele:

M → = r 1 → × F x → + r 2 → × F z →

M → = b - y j ^ + c k ^ × F i ^ + a - x i ^ - y j ^ × - F k ^

M → = - F b - y k ^ + F c j ^ + F a - x j ^ + F y i ^

M → = F y i ^ + F a + c - x j ^ - F b - y k ^

Passo 2

Show, vamos guardar essa expressão por enquanto. Precisamos ainda que esse momento e a força resultante calculada no Passo 1 sejam paralelos. Isso pode ser feito encontrando o vetor unitário na direção de R → e igualando suas componentes com a do vetor unitário na direção do momento, já que eles estão na mesma direção, suas componentes devem ser as mesmas.

Para a resultante temos:

n ^ R = R → R

n ^ R = F i ^ - F k ^ F 2 + F 2

n ^ R = F i ^ 2 F - F k ^ 2 F

E para o momento:

n ^ M = M → M

n ^ M = F y i ^ + F a + c - x j ^ - F b - y k ^ M

n ^ M = F y i ^ M + F a + c - x j ^ M - F b - y k ^ M

Igualando as coordenadas dos vetores unitários: F 2 F = F y M 0 = F a + c - x M   - F 2 F = - F b - y M

Da primeira equação temos que:

M = 2 F y

Da segunda:

x = a + c

E da terceira:

M = 2 F b - y

Igualando as equações de M :

2 F y = 2 F b - y

∴ y = b 2

Assim encontramos as coordenadas x e y do ponto P.

Passo 3

Ainda tem coisa pra fazer?

Calma que tá acabando galera! Último passo é substituir as coordenadas x e y do ponto P que nós encontramos, na equação vetorial de  M → do final do Passo 1:

M → = F b 2 i ^ + F a + c - a + c j ^ - F b - b 2 k ^

M → = F b 2 ( i ^ - k ^ )

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

x = a + c

y = b 2

M → = F b 2 ( i ^ - k ^ )

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