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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 168

Substitua o sistema de duas forças e um binário mostrado no Prob. 2/158 por um torçor. Determine o módulo do momento M → do torçor, módulo da força R → da chave e as coordenadas do ponto P no plano x - y através do qual R → passa.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede três coisas:

i) Substituir o sistema original de duas forças e um binário por um torçor;

ii) Determinar o módulo do momento M → e da resultante   R → do torçor;

iii) Encontrar as coordenadas do ponto P de interseção de  R → com o plano x - y .

Show! Vamos começar definindo a resultante que substitui o sistema original, composto pelas forças de 20   k N e 40   k N . Para isso, precisamos descobrir o ângulo θ que a força de 40   k N faz com o eixo y :

tan ⁡ θ = 1 3

θ = tan - 1 ⁡ 1 3

θ = 18,43 °

Boa! Agora podemos calcular a equação vetorial da resultante:

R → = F 1 → + F 2 →

R → = - 20 i ^ - 40 cos ⁡ ( 18,43 ° ) j ^ + 40 sen ⁡ ( 18,43 ° ) k ^   k N

R → = - 20 i ^ - 37,95 j ^ + 12,65 k ^   k N

E o módulo da resultante:

R = - 20 2 + - 37,95 2 + 12,65 2

R = 44,7   k N

Passo 2

Show, feito isso, temos que encontrar um momento, mas não sabemos sobre qual ponto, então vamos considerar um ponto qualquer P no plano x - y cujas coordenadas são ( x ,   y ,   0 ) e calculamos o momento sobre ele:

M P → = M → + r 1 → × F 1 → + r 2 → × F 2 →

M P → = - 35 k ^ + 2 - x i ^ + 0 - y j ^ + - 1 - 0 k ^ × - 20 i ^ + 0 - x i ^ + ( 0 - y ) j ^ + ( 0 - 0 ) k ^ × - 40 cos ⁡ ( 18,43 ° ) j ^ + 40 sen ⁡ ( 18,43 ° ) k ^

Observe que consideramos o ponto de aplicação da força de 40   k N como a origem, uma vez que ela faz parte da linha de ação da força.

M P → = - 35 k ^ + 2 - x i ^ + - y j ^ + - 1 k ^ × - 20 i ^ + - x i ^ + ( - y ) j ^ + 0 k ^ × - 40 cos ⁡ ( 18,43 ° ) j ^ + 40 sen ⁡ ( 18,43 ° ) k ^

M P → = - 35 k ^ - 20 y k ^ + 20 j ^ + x 40 cos ⁡ 18,43 ° k ^ + x 40 sen ⁡ 18,43 ° j ^ - y 40 sen ⁡ 18,43 ° i ^

M P → = - y 40 sen ⁡ 18,43 ° i ^ + 20 + 40 x sen ⁡ 18,43 ° j ^ + - 35 - 20 y + 40 x cos ⁡ 18,43 ° k ^

M P → = - 12,65 y i ^ + 20 + 12,65 x j ^ + - 35 - 20 y + 37,95 x k ^

Passo 3

Trabalhoso né? Mas aguenta firme que estamos caminhando! ;)

Vamos guardar essa expressão por enquanto. Precisamos ainda que esse momento e a força resultante calculada no Passo 1 sejam paralelos. Isso pode ser feito encontrando o vetor unitário na direção de R → e igualando suas componentes com a do vetor unitário na direção do momento, já que eles estão na mesma direção, suas componentes devem ser as mesmas.

Para a resultante temos:

n ^ R = R → R

n ^ R = - 20 i ^ - 37,95 j ^ + 12,65 k ^ - 20 2 + - 37,95 2 + 12,65 2

n ^ R = - 0,4647 i ^ - 0,8817 j ^ + 0,2939 k ^

E para o momento:

n ^ M = M → M

n ^ M = - 12,65 y i ^ + 20 + 12,65 x j ^ + - 35 - 20 y + 37,95 x k ^ M

n ^ M = ( - 12,65 y ) i ^ M + 20 + 12,65 x j ^ M + - 35 - 20 y + 37,95 x k ^ M

Passo 4

Ainda tem coisa pra fazer?

Calma que tá acabando galera!

Retomando nosso raciocínio, como as coordenadas dos vetores unitários n ^ R e n ^ M devem ser iguais: - 0,4647 = ( - 12,65 y ) M - 0,8817 = 20 + 12,65 x M   0,2939 = - 35 - 20 y + 37,95 x M

Reorganizando temos:

12,65 y - 0,4676 M = 0 - 12,65 x - 0,8817 M = 20 - 37,95 x + 20 y + 0,2939 M = - 35

E, resolvendo este sistema, encontramos as coordenadas x e y da interseção de  R → com o plano x - y e o módulo do momento M → do torçor:

x = 0,221   m

y = - 0,95   m

M = - 26,9   k N ∙ m

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

R = 44,7   k N

M = - 26,9   k N ∙ m

x = 0,221   m

y = - 0,95   m

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