Enunciado

Antes da força P ser aplicada, existe uma abertura δ 0 = 1,9 m m entre as extremidades das barras em balanço A B   e   C D E . Sabendo-se que E = 200   G P a , encontrar a intensidade da força P para que a deflexão do ponto B seja 0,6 m m .

Passo 1

Então galerinha, nesse problema temos que tomar cuidado porque se trata de uma viga estaticamente indeterminada, e nesse caso vamos estar olhando primeiro a viga CDE, e aqui vamos usar um conceito novo.

Claro que não temos em vista um apoio de fato, mas podemos considerar que no ponto D temos uma espécie de apoio, que seria a própria viga inferior, assim, a nossa viga representada seria dada por:

Assim ela vai ser estaticamente indeterminada, porém, ao invés de dizer que a soma das deformações no apoio C é igual a zero, vamos supor que ele pode deformar 1,9 m m . Isso vai ficar mais claro daqui a pouco, mas basicamente vamos considerar essa viga aqui como base.

Vamos dividir a nossa viga em duas partes e com isso vamos romper o apoio em C e vamos trocar por uma reação.

Passo 2

  • Deformação no ponto C na viga 2
  • Sabemos que a tabela no fim do livro é dada por:

    Por essa tabela vemos que a deformação no ponto C da viga para uma carga concentrada é dada por (e lembra como a carga é de baixo pra cima, vamos trocar o sinal da fórmula, assim, vamos ter que)

    Pela tabela temos que a máxima deformação que ocorre no ponto C onde tem a deformação é dada por (lembrar que como a carga é de baixo pra cima, vai gerar uma deformação positiva):

    y C = R C ( 0,610 ) 3 3 E I

  • Deformação no ponto C na viga 1
  • Sabemos que a tabela no fim do livro é dada por:

    Como não temos uma fórmula para a carga em um ponto qualquer da barra, iremos fazer o seguinte, vamos considerar o ponto D como o fim da nossa barra, e para o ponto C iremos considerar a seguinte deformação:

    y C = y D + a θ D

    Nossa viga 1 é dada por:

    Pela tabela temos que a máxima deformação que ocorre no ponto D onde tem a deformação é dada por:

    y D = - P ( 0,380 ) 3 3 E I

    θ D = - P ( 0,380 ) 2 2 E I

    Assim a deformação em C vai ser dada por:

    y C = y D + a θ D

    y C = - P 0,380 3 3 E I - 0,230 × P ( 0,380 ) 2 2 E I

    y C = - 0,035 P E I

  • Deformação no ponto C na viga 3

Porém veja que determinamos o que ocorre com o ponto C quando olhamos ele pela barra de cima, porém, lembre-se que ele não é um apoio, logo, precisamos saber o que rola na nossa viga de baixo, para isso, é só transferir a nossa reação em C para a viga de baixo e determinar a deformação nesse ponto também, assim, teremos que:

Sabemos que a tabela de fórmula é dada por:

y C = - R C ( 0,250 ) 3 3 E I

Porém sabemos pelo enunciado que essa deformação é a deformação do ponto B, que no enunciado sabemos que é - 0,6 m m = - 6 × 10 - 4 m , assim temos que:

- 6 × 10 - 4 = - R C ( 0,250 ) 3 3 E I

E = 200   G P a = 200 × 10 6   k N / m 2

I = 0,030 × 0,030 3 12 = 6,75 × 10 - 8   m 4

E I = 13,5   k N m 2

6 × 10 - 4 = - R C ( 0,250 ) 3 3 × 13,5

R C = 1,56   k N

Agora pensa no seguinte, a barra de cima vai deformar todo o vão antes de começar a afetar a barra de baixo, e a partir do momento que elas começarem a se encostar, as deformações precisam ser iguais, assim podemos dizer o seguinte:

y C ( b a r r a   d e   c i m a ) - ( δ 0 ) = y C ( b a r r a   d e   b a i x o )

Lembrar que δ 0 = n e g a t i v o porque é uma deformação pra baixo.

R C 0,610 3 3 E I - 0,035 P E I - - 1,9 × 10 - 3 = - R C 0,250 3 3 E I

Substituindo o valor de R C , temos que:

1,56 × 0,610 3 3 × 13,5 - 0,035 P 13,5 - - 1,9 × 10 - 3 = - 1,56 × 0,250 3 3 × 13,5

8,7 × 10 - 3 - 0,035 P 13,5 - - 1,9 × 10 - 3 = - 6 × 10 - 4

0,035 P 13,5 = 0,0112

P = 4,32   k N

Resposta

P = 4,32   k N

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Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: ( a ) a reação em C ; ( b ) a deflexão o ponto B . UsarE = 200G P a .
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade livre.
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto médio em C ; ( b ) a declividade na extremidade A .